Номер 10, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 10, страница 127.

Условие 2023.

10. Чему равен $\sin (90^\circ - \alpha)$? $\cos (90^\circ - \alpha)$; $\operatorname{tg} (90^\circ - \alpha)$; $\operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha)$?

Решение 6 (2023).

Данные выражения вычисляются с помощью формул приведения, которые связывают тригонометрические функции углов $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$. Для их вывода удобнее всего рассмотреть прямоугольный треугольник.

Пусть в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $\alpha$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а прямой угол равен $90^\circ$, поэтому второй острый угол будет равен $180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Пусть катет $a$ будет противолежащим углу $\alpha$, а катет $b$ — прилежащим к углу $\alpha$.

По определению тригонометрических функций для угла $\alpha$ имеем:

• $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$
• $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
• $\text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$
• $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

Теперь рассмотрим тригонометрические функции для второго острого угла, равного $90^\circ - \alpha$. Для этого угла катет $b$ будет противолежащим, а катет $a$ — прилежащим.

$\sin(90^\circ - \alpha)$

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $90^\circ - \alpha$ противолежащим катетом является $b$.

$\sin(90^\circ - \alpha) = \frac{b}{c}$

Сравнивая полученное выражение с определением $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$, мы видим, что они равны.

Ответ: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos(90^\circ - \alpha)$

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $90^\circ - \alpha$ прилежащим катетом является $a$.

$\cos(90^\circ - \alpha) = \frac{a}{c}$

Сравнивая это с определением $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$, мы видим, что они равны.

Ответ: $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

$\text{tg}(90^\circ - \alpha)$

Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $90^\circ - \alpha$ противолежащий катет — это $b$, а прилежащий — $a$.

$\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \frac{b}{a}$

Сравнивая это с определением $\text{ctg}(\alpha) = \frac{b}{a}$, мы видим, что они равны.

Ответ: $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$.

$\text{ctg}(90^\circ - \alpha)$

Котангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Для угла $90^\circ - \alpha$ прилежащий катет — это $a$, а противолежащий — $b$.

$\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \frac{a}{b}$

Сравнивая это с определением $\text{tg}(\alpha) = \frac{a}{b}$, мы видим, что они равны.

Ответ: $\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$.

Условие 2015-2022.

10. Чему равен $ \sin (90^\circ - \alpha) $? $ \cos (90^\circ - \alpha) $? $ \tan (90^\circ - \alpha) $? $ \cot (90^\circ - \alpha) $?