Номер 8, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 8, страница 127.

Условие 2023.

8. Как связаны между собой $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$?

Решение 6 (2023).

Тангенс ($\text{tg } \alpha$) и котангенс ($\text{ctg } \alpha$) одного и того же угла $\alpha$ являются взаимно обратными тригонометрическими функциями. Их связь вытекает из их определений через синус и косинус.

По определению, тангенс угла $\alpha$ – это отношение синуса этого угла к его косинусу:

$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

В свою очередь, котангенс угла $\alpha$ – это отношение косинуса этого угла к его синусу:

$\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Если мы сравним эти два выражения, то увидим, что одно является "перевернутой" версией другого. Выразим котангенс через тангенс:

$\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$

Аналогично можно выразить тангенс через котангенс:

$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{1}{\text{ctg } \alpha}$

Из этих соотношений следует основное тождество, связывающее тангенс и котангенс: их произведение равно единице.

$\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$

Это равенство справедливо для всех значений угла $\alpha$, при которых и тангенс, и котангенс определены. Тангенс не определен, когда $\cos \alpha = 0$ (т.е. $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$), а котангенс не определен, когда $\sin \alpha = 0$ (т.е. $\alpha = \pi k$), где $k$ – любое целое число. Таким образом, тождество верно при $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: Тангенс и котангенс одного и того же угла являются взаимно обратными величинами, их произведение равно 1: $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.

Условие 2015-2022.

8. Как связаны между собой $ \text{tg } \alpha $ и $ \text{ctg } \alpha $?