Номер 6, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 6, страница 127.

Условие 2023.

6. Как связаны между собой $ \text{tg} \alpha $, $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $?

Решение 6 (2023).

Тригонометрические функции тангенс ($tg \alpha$), синус ($sin \alpha$) и косинус ($cos \alpha$) тесно связаны между собой через основные тригонометрические тождества. Рассмотрим эти связи.

Основное определение тангенса

Главная и самая прямая связь заключается в определении тангенса. Тангенс угла $\alpha$ — это отношение синуса этого угла к его косинусу.

$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$

Это равенство справедливо для всех углов $\alpha$, для которых косинус не равен нулю, то есть $cos \alpha \neq 0$. Это соответствует углам $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ (при $cos \alpha \neq 0$).

Связь через основное тригонометрическое тождество

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, можно вывести формулы, связывающие все три функции. Разделим обе части этого тождества на $cos^2 \alpha$, предполагая, что $cos \alpha \neq 0$:

$\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} + \frac{cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = \frac{1}{cos^2 \alpha}$

Учитывая, что $\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha$, мы получаем важное тождество, связывающее тангенс и косинус:

$1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$

Из этой формулы можно выразить $sin \alpha$ и $cos \alpha$ через $tg \alpha$.

Выражение для косинуса:

$cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha}$

Выражение для синуса:

Используем формулу $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha$. Возведя в квадрат, получим $sin^2 \alpha = tg^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha$. Подставив найденное выражение для $cos^2 \alpha$, имеем:

$sin^2 \alpha = tg^2 \alpha \cdot \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha}$

Эти формулы позволяют найти синус и косинус (с точностью до знака), если известен тангенс угла.

Ответ: $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$; $cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha}$; $sin^2 \alpha = \frac{tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha}$.

Условие 2015-2022.

6. Как связаны между собой $ \text{tg } \alpha $, $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $?