Номер 11, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 11, страница 127.

Условие 2023.

11. Чему равен $ \sin 45^{\circ}$; $ \cos 45^{\circ}$; $ \operatorname{tg} 45^{\circ}$; $ \operatorname{ctg} 45^{\circ}$?

Решение 6 (2023).

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла $45^\circ$ используется равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике оба острых угла равны $45^\circ$, а катеты равны между собой. Пусть длина каждого катета равна $a$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $c$:

$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь, используя определения тригонометрических функций, найдем их значения.

sin 45°

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $45^\circ$ противолежащий катет равен $a$, а гипотенуза $a\sqrt{2}$.

$\sin 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

cos 45°

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В равнобедренном прямоугольном треугольнике прилежащий катет также равен $a$.

$\cos 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

tg 45°

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Так как оба катета равны $a$:

$\text{tg} 45^\circ = \frac{a}{a} = 1$

Также тангенс можно вычислить как отношение синуса к косинусу:

$\text{tg} 45^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

Ответ: $\text{tg} 45^\circ = 1$

ctg 45°

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

$\text{ctg} 45^\circ = \frac{a}{a} = 1$

Также котангенс является обратной функцией к тангенсу:

$\text{ctg} 45^\circ = \frac{1}{\text{tg} 45^\circ} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $\text{ctg} 45^\circ = 1$

Условие 2015-2022.

11. Чему равен $\sin 45^\circ$? $\cos 45^\circ$? $\tan 45^\circ$? $\cot 45^\circ$?