Номер 580, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 580, страница 128.

Условие 2023.

580. Постройте угол:

1) косинус которого равен $1/4$;

2) котангенс которого равен $1/2$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) косинус которого равен $\frac{1}{4}$;

Для построения угла $\alpha$, косинус которого равен $\frac{1}{4}$, воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Следовательно, нам нужно построить прямоугольный треугольник, у которого отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы равно $\frac{1}{4}$.

Порядок построения:

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$.
2. Выберем произвольный отрезок в качестве единицы длины $x$. На луче от точки $A$ отложим отрезок $AB$ длиной $x$. Этот отрезок будет прилежащим катетом для искомого угла.
3. В точке $B$ построим прямую, перпендикулярную лучу $AB$.
4. С помощью циркуля измерим отрезок длиной $4x$. Проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $4x$.
5. Точка пересечения этой дуги и перпендикулярной прямой, построенной в шаге 3, будет третьей вершиной треугольника. Обозначим эту точку $C$.
6. Соединим точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$. Длина катета $AB$ равна $x$, а длина гипотенузы $AC$ равна $4x$.

Угол $\angle BAC$ и есть искомый угол, так как $\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Угол $\angle BAC$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ является искомым.

2) котангенс которого равен $\frac{1}{2}$.

Для построения угла $\beta$, котангенс которого равен $\frac{1}{2}$, воспользуемся определением котангенса в прямоугольном треугольнике: $\cot(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, у которого отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета равно $\frac{1}{2}$.

Порядок построения:

1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$. Для этого проведем две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $B$.
2. Выберем произвольный отрезок в качестве единицы длины $x$. На одной стороне прямого угла отложим от точки $B$ отрезок $BA$ длиной $x$. Этот отрезок будет прилежащим катетом для искомого угла.
3. На другой стороне прямого угла отложим от точки $B$ отрезок $BC$ длиной $2x$. Этот отрезок будет противолежащим катетом.
4. Соединим точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

Угол $\angle BAC$ является искомым углом, так как $\cot(\angle BAC) = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Угол $\angle BAC$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ является искомым.

Условие 2015-2022.

580. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{1}{4}$;

2) котангенс которого равен $\frac{1}{2}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).