Номер 12, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 12, страница 127.

Условие 2023.

12. Чему равен $ \sin 30^\circ $; $ \cos 30^\circ $; $ \tan 30^\circ $; $ \cot 30^\circ $?

Решение 6 (2023).

Для нахождения значений этих тригонометрических функций для угла $30^\circ$ используются стандартные значения, которые можно вывести с помощью прямоугольного треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Пусть этот катет (противолежащий) равен $a$, тогда гипотенуза равна $2a$. По теореме Пифагора найдем второй катет (прилежащий): $b = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

На основе этих данных вычислим значения тригонометрических функций.

sin 30°
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

cos 30°
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

tg 30°
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Также тангенс можно найти по формуле $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\text{tg } 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

ctg 30°
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Также котангенс можно найти по формуле $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ или $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$.
$\text{ctg } 30^\circ = \frac{1}{\text{tg } 30^\circ} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

Условие 2015-2022.

12. Чему равен $ \sin 30^\circ $? $ \cos 30^\circ $? $ \operatorname{tg} 30^\circ $? $ \operatorname{ctg} 30^\circ $?