Номер 9, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 9, страница 127.

Условие 2023.

9. Как связаны между собой $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $?

Решение 6 (2023).

Синус и косинус одного и того же угла $\alpha$ ($\sin \alpha$ и $\cos \alpha$) связаны между собой несколькими ключевыми тригонометрическими соотношениями. Рассмотрим основные из них.

Основное тригонометрическое тождество

Самая главная и фундаментальная связь выражается основным тригонометрическим тождеством, которое является следствием теоремы Пифагора для единичной окружности. Для любого угла $\alpha$ справедливо равенство:

$$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$

Это тождество означает, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице. Оно позволяет, зная значение одной из этих функций, найти значение другой (с точностью до знака, который определяется координатной четвертью, в которой находится угол $\alpha$).

Доказательство через единичную окружность: В декартовой системе координат рассмотрим окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат. По определению, точка $M(x, y)$ на этой окружности, соответствующая углу поворота $\alpha$ от положительного направления оси Ох, имеет координаты $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Уравнение единичной окружности — это $x^2 + y^2 = 1$. Подставляя в него тригонометрические определения координат, получаем $(\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1$.

Формулы приведения (сдвиг по фазе)

Функции синуса и косинуса представляют собой одну и ту же волну (синусоиду), но сдвинутую друг относительно друга по фазе на угол $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$). Эта связь описывается формулами приведения:

• $\cos \alpha = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(90^\circ + \alpha\right)$
• $\sin \alpha = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(90^\circ - \alpha\right)$

Например, формула $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ означает, что синус угла равен косинусу угла, дополняющего его до $90^\circ$. Это особенно наглядно в прямоугольном треугольнике: синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

Связь через тангенс и котангенс

Отношения синуса и косинуса определяют другие важные тригонометрические функции — тангенс ($\tan \alpha$) и котангенс ($\cot \alpha$):

• $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$)
• $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$)

Эти равенства показывают, что синус и косинус являются "строительными блоками" для других тригонометрических функций.

Ответ: $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ связаны, в первую очередь, основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Также они связаны формулами приведения, которые показывают, что одна функция является сдвинутой по фазе версией другой (например, $\cos \alpha = \sin(90^\circ + \alpha)$). Кроме того, их отношение определяет тангенс угла: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Условие 2015-2022.

9. Как связаны между собой $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $?