Номер 578, страница 123 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 578, страница 123.

Условие 2023.

578. В квадрате со стороной 1 м произвольным образом отметили 51 точку. Докажите, что среди этих точек существуют три, которые можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле.

1. Переведем все единицы измерения в сантиметры. Сторона большого квадрата равна 1 м, что составляет 100 см. Требуется доказать, что три точки можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

2. Разобьем большой квадрат со стороной 100 см на сетку из более мелких, непересекающихся квадратов со стороной 20 см. Так как $100 / 20 = 5$, мы можем разделить каждую сторону большого квадрата на 5 равных отрезков. В результате большой квадрат будет разделен на $5 \times 5 = 25$ одинаковых маленьких квадратов со стороной 20 см.

3. Эти 25 маленьких квадратов будут нашими "клетками" (или "ящиками") в принципе Дирихле. В эти "клетки" мы помещаем 51 "голубя" - отмеченные точки.

4. Согласно обобщенному принципу Дирихле, если $N$ предметов нужно разместить в $K$ ящиках, то по крайней мере в одном ящике окажется не менее $\lceil \frac{N}{K} \rceil$ предметов (где $\lceil x \rceil$ - это наименьшее целое число, не меньшее $x$).

5. В нашем случае количество точек (предметов) $N = 51$, а количество маленьких квадратов (ящиков) $K = 25$. Найдем минимальное количество точек, которое окажется в одном квадрате:

$\lceil \frac{51}{25} \rceil = \lceil 2.04 \rceil = 3$

6. Таким образом, по крайней мере в один из 25 маленьких квадратов со стороной 20 см попадет не менее 3 точек. Это означает, что существуют три точки, которые можно накрыть квадратом со стороной 20 см, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на принципе Дирихле. Большой квадрат со стороной 100 см разбивается на $5 \times 5 = 25$ маленьких квадратов со стороной 20 см. В эти 25 квадратов помещается 51 точка. Согласно принципу Дирихле, найдется хотя бы один маленький квадрат, в котором окажется не менее $\lceil 51/25 \rceil = 3$ точек. Следовательно, эти три точки можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Условие 2015-2022.

578. В квадрате со стороной 1 м произвольным образом отметили 51 точку. Докажите, что среди этих точек существуют три, которые можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).