Номер 573, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 573, страница 122.

Условие 2023.

573. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если $AM = 9$ см и $CK = 12$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$.

По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, мы можем найти длины отрезков, на которые точка $O$ делит медианы $AM$ и $CK$.

Для медианы $AM = 9$ см:

$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

$OM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

Для медианы $CK = 12$ см:

$CO = \frac{2}{3} CK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

$OK = \frac{1}{3} CK = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

По условию задачи, медианы $AM$ и $CK$ перпендикулярны, следовательно, угол между ними в точке пересечения $O$ равен $90^\circ$ ($AM \perp CK$). Это означает, что треугольники $\triangle AOC$, $\triangle AOK$ и $\triangle COM$ являются прямоугольными.

Используя теорему Пифагора для этих прямоугольных треугольников, найдем стороны треугольника $ABC$.

1. Найдем сторону $AC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ катеты равны $AO = 6$ см и $CO = 8$ см. Гипотенуза $AC$ является стороной исходного треугольника.

$AC^2 = AO^2 + CO^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдем сторону $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOK$ катеты равны $AO = 6$ см и $OK = 4$ см. Гипотенуза - отрезок $AK$.

$AK^2 = AO^2 + OK^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$

$AK = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Так как $CK$ - медиана, проведенная к стороне $AB$, то точка $K$ является серединой $AB$. Следовательно, $AB = 2 \cdot AK$.

$AB = 2 \cdot 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13}$ см.

3. Найдем сторону $BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle COM$ катеты равны $CO = 8$ см и $OM = 3$ см. Гипотенуза - отрезок $CM$.

$CM^2 = CO^2 + OM^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73$

$CM = \sqrt{73}$ см.

Так как $AM$ - медиана, проведенная к стороне $BC$, то точка $M$ является серединой $BC$. Следовательно, $BC = 2 \cdot CM$.

$BC = 2\sqrt{73}$ см.

Ответ: стороны треугольника равны $10$ см, $4\sqrt{13}$ см и $2\sqrt{73}$ см.

Условие 2015-2022.

573. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если $AM = 9$ см и $CK = 12$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).