Номер 570, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 570, страница 121.

Условие 2023.

570. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим вершины трапеции $ABCD$ так, что $AD$ и $BC$ — параллельные основания, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Таким образом, углы $\angle A$ и $\angle B$ прямые, $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Пусть $AD$ — большее основание.

Пусть вписанная окружность касается сторон $AD, AB, BC, CD$ в точках $K, L, M, N$ соответственно. По условию, точка касания $K$ на большем основании $AD$ делит его на отрезки 20 см и 25 см, считая от вершины прямого угла $A$.

Следовательно, $AK = 20$ см и $KD = 25$ см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме этих отрезков: $AD = AK + KD = 20 + 25 = 45$ см.

Используем свойство касательных, проведенных к окружности из одной вершины: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

Для вершины $A$: $AL = AK = 20$ см.

Для вершины $D$: $DN = DK = 25$ см.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — ее радиус. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам, т.е. $OK \perp AD$ и $OL \perp AB$. Так как $\angle A = 90^\circ$, то четырехугольник $ALOK$ является квадратом со стороной $r$.

Отсюда находим радиус вписанной окружности: $r = AK = 20$ см.

Высота трапеции $AB$ равна диаметру вписанной окружности: $AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Теперь найдем длины оставшихся сторон. По свойству касательных из вершины $B$: $BM = BL$. Отрезок $BL$ можно найти из длины стороны $AB$: $BL = AB - AL = 40 - 20 = 20$ см. Следовательно, $BM = 20$ см.

По свойству касательных из вершины $C$: $CM = CN$. Обозначим эту неизвестную длину как $x$, то есть $CM = CN = x$.

Тогда длина меньшего основания $BC$ равна: $BC = BM + MC = 20 + x$ см.

Длина наклонной боковой стороны $CD$ равна: $CD = CN + ND = x + 25$ см.

Чтобы найти $x$, проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. Высота $CH$ равна боковой стороне $AB$, т.е. $CH = 40$ см. Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = 45 - (20 + x) = 25 - x$ см.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$. $40^2 + (25 - x)^2 = (25 + x)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение: $1600 + 625 - 50x + x^2 = 625 + 50x + x^2$ $1600 = 100x$ $x = 16$ см.

Теперь мы можем найти длины всех сторон трапеции: $AD = 45$ см (большее основание). $AB = 40$ см (высота). $BC = 20 + x = 20 + 16 = 36$ см (меньшее основание). $CD = 25 + x = 25 + 16 = 41$ см (боковая сторона).

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$ $P = 40 + 36 + 41 + 45 = 162$ см.

Также можно воспользоваться свойством описанного четырехугольника, согласно которому суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции: $AD + BC = AB + CD$. $45 + 36 = 81$ см. $40 + 41 = 81$ см. Периметр равен $P = (AD + BC) + (AB + CD) = 81 + 81 = 162$ см.

Ответ: 162 см.

Условие 2015-2022.

570. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).