Номер 574, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 574, страница 122.

Условие 2023.

574. В треугольнике $\triangle ABC$ медианы $BM$ и $CK$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $AO$, если $BM = 36 \text{ см}$ и $CK = 15 \text{ см}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $ABC$ медианы $BM$ и $CK$ пересекаются в точке $O$. Точка пересечения медиан треугольника является его центроидом. По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Даны длины медиан: $BM = 36$ см и $CK = 15$ см. Найдем длины отрезков от вершин до центроида:
$BO = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3} \cdot 36 = 2 \cdot 12 = 24$ см.
$CO = \frac{2}{3} \cdot CK = \frac{2}{3} \cdot 15 = 2 \cdot 5 = 10$ см.

По условию задачи медианы $BM$ и $CK$ перпендикулярны, следовательно, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $BOC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

Применим теорему Пифагора для $\triangle BOC$, чтобы найти длину гипотенузы $BC$:
$BC^2 = BO^2 + CO^2$
$BC^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$
$BC = \sqrt{676} = 26$ см.

Проведем третью медиану $AL$ из вершины $A$ к середине $L$ стороны $BC$. Точка $O$ (центроид) также лежит на этой медиане. В треугольнике $BOC$ отрезок $OL$ соединяет вершину $O$ с серединой противолежащей стороны $BC$, то есть $OL$ является медианой в треугольнике $BOC$.

Так как $\triangle BOC$ — прямоугольный, то медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе ($OL$), равна половине гипотенузы ($BC$).
$OL = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ см.

Точка $O$ делит медиану $AL$ в отношении $AO:OL = 2:1$. Отсюда мы можем найти длину отрезка $AO$:
$AO = 2 \cdot OL = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

Условие 2015-2022.

574. В треугольнике $ABC$ медианы $BM$ и $CK$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $AO$, если $BM = 36$ см и $CK = 15$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).