Номер 566, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 566, страница 121.

Условие 2023.

566. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. По условию $AD = 18$ см и $BC = 12$ см. Пусть $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям, тогда $\angle A = \angle B = 90^\circ$. В этом случае острым углом трапеции является угол $D$.

По условию, диагональ является биссектрисой острого угла. Следовательно, диагональ $BD$ делит угол $D$ пополам, то есть $\angle ADB = \angle CDB$.

Так как основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle ADB = \angle CBD$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle CDB = \angle CBD$. Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$, а значит, его боковые стороны равны: $CD = BC = 12$ см.

Для нахождения длины диагонали $BD$ сначала найдем высоту трапеции. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. $ABCH$ — прямоугольник, поэтому $AH = BC = 12$ см. Отрезок $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = 18 - 12 = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем катет $CH$, который является высотой трапеции:$CH^2 = CD^2 - HD^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$.$CH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.Высота трапеции $AB$ равна $CH$, то есть $AB = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD$, которая и является искомой диагональю:$BD^2 = AB^2 + AD^2 = (6\sqrt{3})^2 + 18^2 = (36 \cdot 3) + 324 = 108 + 324 = 432$.$BD = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

Условие 2015-2022.

ляется биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

566. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).