Номер 564, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 564, страница 121.

Условие 2023.

564. (Старинная арабская задача)

На противоположных берегах реки растут одна напротив другой две пальмы. Высота одной из них равна 30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм — 50 локтей. На вершине каждой пальмы сидит птица. Вдруг обе птицы увидели рыбу, которая показалась на поверхности воды между пальмами. Они взлетели с пальм одновременно и, двигаясь с одинаковой скоростью, одновременно схватили рыбу. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим подходом и теоремой Пифагора. Обозначим известные нам величины:

• Высота более высокой пальмы: $h_1 = 30$ локтей.
• Высота менее высокой пальмы: $h_2 = 20$ локтей.
• Расстояние между основаниями пальм: $D = 50$ локтей.

Пусть $x$ — искомое расстояние от основания более высокой пальмы ($h_1$) до места на поверхности воды, где появилась рыба. Тогда расстояние от основания менее высокой пальмы ($h_2$) до рыбы будет равно $D - x = 50 - x$.

Ключевым условием задачи является то, что обе птицы взлетели одновременно, двигались с одинаковой скоростью и достигли рыбы одновременно. Это означает, что расстояние, которое пролетела каждая птица, одинаково.

Путь каждой птицы представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, где катетами являются высота пальмы и расстояние от ее основания до рыбы по поверхности воды.

Для первой птицы, летящей с более высокой пальмы, квадрат расстояния полета ($d_1^2$) по теореме Пифагора равен:

$d_1^2 = h_1^2 + x^2 = 30^2 + x^2$

Для второй птицы, летящей с менее высокой пальмы, квадрат расстояния полета ($d_2^2$) равен:

$d_2^2 = h_2^2 + (50 - x)^2 = 20^2 + (50 - x)^2$

Поскольку расстояния равны ($d_1 = d_2$), то и их квадраты равны ($d_1^2 = d_2^2$). Приравняем два выражения:

$30^2 + x^2 = 20^2 + (50 - x)^2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.

1. Вычислим квадраты чисел:

$900 + x^2 = 400 + (50 - x)^2$

2. Раскроем скобки для $(50 - x)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$900 + x^2 = 400 + (50^2 - 2 \cdot 50 \cdot x + x^2)$

$900 + x^2 = 400 + 2500 - 100x + x^2$

3. Член $x^2$ есть в обеих частях уравнения, поэтому он сокращается:

$900 = 400 + 2500 - 100x$

$900 = 2900 - 100x$

4. Перенесем члены уравнения, чтобы выделить $x$:

$100x = 2900 - 900$

$100x = 2000$

5. Найдем $x$:

$x = \frac{2000}{100} = 20$

Таким образом, рыба появилась на расстоянии 20 локтей от основания более высокой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Условие 2015-2022.

564. (Старинная арабская задача.) На противоположных берегах реки растут одна напротив другой две пальмы. Высота одной из них равна 30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм — 50 локтей. На вершине каждой пальмы сидит птица. Вдруг обе птицы увидели рыбу, которая показалась на поверхности воды между пальмами. Они взлетели с пальм одновременно и, двигаясь с одинаковой скоростью, одновременно схватили рыбу. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).