Номер 563, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 563, страница 121.

Условие 2023.

563. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты как $a=BC$ и $b=AC$, а гипотенузу как $c=AB$.

Пусть биссектриса одного из острых углов, например угла $A$, пересекает противолежащий катет $BC$ в точке $D$. По условию, эта биссектриса делит катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

Таким образом, длина катета $a$ равна сумме длин этих отрезков: $a = BC = 24 + 51 = 75$ см.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для биссектрисы $AD$ это свойство записывается так:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

В наших обозначениях: $\frac{c}{b} = \frac{BD}{DC}$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза ($c$) всегда длиннее катета ($b$), поэтому отношение $\frac{c}{b} > 1$. Следовательно, и отношение $\frac{BD}{DC}$ должно быть больше 1, что означает $BD > DC$. Значит, отрезок, прилежащий к гипотенузе (вершине $B$), должен быть длиннее отрезка, прилежащего к прямому углу (вершине $C$).

Отсюда следует, что $BD = 51$ см, а $DC = 24$ см.

Теперь мы можем записать пропорцию:

$\frac{c}{b} = \frac{51}{24} = \frac{17}{8}$

Из этой пропорции выразим гипотенузу $c$ через катет $b$: $c = \frac{17}{8}b$.

Теперь применим теорему Пифагора для нашего треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения $a=75$ и выражение для $c$:

$75^2 + b^2 = \left(\frac{17}{8}b\right)^2$

$5625 + b^2 = \frac{289}{64}b^2$

Перенесем $b^2$ в правую часть уравнения:

$5625 = \frac{289}{64}b^2 - b^2$

$5625 = \left(\frac{289}{64} - 1\right)b^2$

$5625 = \left(\frac{289 - 64}{64}\right)b^2$

$5625 = \frac{225}{64}b^2$

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = \frac{5625 \cdot 64}{225}$

Так как $5625 = 75^2$ и $225 = 15^2$, то $\frac{5625}{225} = (\frac{75}{15})^2 = 5^2 = 25$.

$b^2 = 25 \cdot 64 = 1600$

Отсюда находим длину катета $b$:

$b = \sqrt{1600} = 40$ см.

Теперь, зная $b$, найдем длину гипотенузы $c$:

$c = \frac{17}{8}b = \frac{17}{8} \cdot 40 = 17 \cdot 5 = 85$ см.

Итак, мы нашли длины всех сторон треугольника: катет $a = 75$ см, катет $b = 40$ см, и гипотенуза $c = 85$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 75 + 40 + 85 = 200$ см.

Ответ: 200 см.

Условие 2015-2022.

563. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).