Номер 562, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 562, страница 121.

Условие 2023.

562. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника обозначим как $AC = b$ и $BC = a$, а гипотенузу — $AB = c$.

Биссектриса прямого угла $C$ пересекает гипотенузу в точке $D$ и делит ее на отрезки $AD = 30$ см и $DB = 40$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $c$. Гипотенуза равна сумме длин отрезков, на которые ее делит биссектриса:

$c = AB = AD + DB = 30 + 40 = 70$ см.

2. Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону (гипотенузу) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (катетам):

$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$

Подставим наши обозначения и известные значения:

$\frac{b}{a} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$

Из этого соотношения выразим один катет через другой:

$b = \frac{3}{4}a$

3. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражение для $b$ и значение $c$:

$a^2 + \left(\frac{3}{4}a\right)^2 = 70^2$

$a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 4900$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{16a^2 + 9a^2}{16} = 4900$

$\frac{25a^2}{16} = 4900$

Теперь найдем $a^2$:

$a^2 = \frac{4900 \cdot 16}{25} = 196 \cdot 16 = 3136$

Найдем длину катета $a$:

$a = \sqrt{3136} = 56$ см.

4. Теперь найдем длину второго катета $b$:

$b = \frac{3}{4}a = \frac{3}{4} \cdot 56 = 3 \cdot 14 = 42$ см.

5. Найдем периметр треугольника $P$ как сумму длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 56 + 42 + 70 = 168$ см.

Ответ: 168 см.

Условие 2015-2022.

562. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).