Номер 592, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 592, страница 129.

Условие 2023.

592. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб, диагонали которого $d_1 = 4$ см и $d_2 = 4\sqrt{3}$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей делит ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Катетами каждого такого треугольника являются половины диагоналей. Найдем длины катетов:
$a = \frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
$b = \frac{d_2}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Острые углы этих прямоугольных треугольников являются половинами углов ромба. Обозначим их $\alpha$ и $\beta$. Мы можем найти их значения, используя тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Найдем первый острый угол $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
Отсюда следует, что $\alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

Найдем второй острый угол $\beta$:
$\tan(\beta) = \frac{a}{b} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Отсюда следует, что $\beta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то углы ромба равны $2\alpha$ и $2\beta$.
Один угол ромба равен $2\alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Смежный с ним угол равен $2\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
В ромбе противоположные углы равны, поэтому у него два угла по $120^\circ$ и два угла по $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

Условие 2015-2022.

592. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).