Номер 596, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 596, страница 129.

Условие 2023.

596. Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, равными a и b, и острыми углами $\alpha$ и $\beta$, противолежащими этим катетам соответственно.

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, тангенс — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Для угла $\alpha$ противолежащим катетом является сторона a, а прилежащим — сторона b. Таким образом, тангенс угла $\alpha$ равен:

$\tan \alpha = \frac{a}{b}$

Для угла $\beta$ противолежащим катетом является сторона b, а прилежащим — сторона a. Таким образом, тангенс угла $\beta$ равен:

$\tan \beta = \frac{b}{a}$

Числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Найдем произведение тангенсов острых углов нашего треугольника:

$\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$

Поскольку произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно 1, они являются взаимно обратными числами, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как произведение тангенсов острых углов $\alpha$ и $\beta$ прямоугольного треугольника равно 1: $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$.

Условие 2015-2022.

596. Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).