Номер 599, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 599, страница 129.

Условие 2023.

599. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 40 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = 30$ см и $BC = 40$ см. Проведем к гипотенузе $AB$ медиану $CM$ и высоту $CH$. Нам нужно найти тригонометрические функции угла $\alpha = \angle MCH$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$.
По теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$.$AB = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. Найдем длину медианы $CM$.
Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы:$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$ см.

3. Найдем длину высоты $CH$.
Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$.$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot CH$.Приравнивая площади, получаем:$\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot CH = 600$$25 \cdot CH = 600$$CH = \frac{600}{25} = 24$ см.

4. Рассмотрим треугольник $CMH$.
Так как $CH$ — высота, то $\triangle CMH$ является прямоугольным с прямым углом $H$. В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $CM = 25$ см и катет $CH = 24$ см. Найдем второй катет $MH$ по теореме Пифагора:$CM^2 = CH^2 + MH^2$$MH^2 = CM^2 - CH^2 = 25^2 - 24^2 = (25-24)(25+24) = 1 \cdot 49 = 49$.$MH = \sqrt{49} = 7$ см.

5. Найдем тригонометрические функции угла $\alpha = \angle MCH$.
В прямоугольном треугольнике $CMH$ имеем:

• Противолежащий катет $MH = 7$ см.
• Прилежащий катет $CH = 24$ см.
• Гипотенуза $CM = 25$ см.

синус
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:$\sin(\alpha) = \frac{MH}{CM} = \frac{7}{25}$.
Ответ: $\frac{7}{25}$.

косинус
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:$\cos(\alpha) = \frac{CH}{CM} = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$.

тангенс
Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему:$\text{tg}(\alpha) = \frac{MH}{CH} = \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{7}{24}$.

котангенс
Котангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему:$\text{ctg}(\alpha) = \frac{CH}{MH} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $\frac{24}{7}$.

Условие 2015-2022.

599. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 40 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).