Номер 606, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 606, страница 130.

Условие 2023.

606. Даны два круга, которые не имеют общих точек. Существует ли точка, которая не принадлежит ни одному из кругов, такая, что любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает хотя бы один из этих кругов?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Нет, такая точка не существует. Приведём доказательство этого утверждения.

Пусть даны два круга, $K_1$ и $K_2$, с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, не имеющие общих точек. Мы ищем точку $P$, не принадлежащую ни одному из кругов, такую, что любая прямая, проходящая через $P$, пересекает хотя бы один из кругов.

Сформулируем это условие в другой форме. Обозначим через $L_P$ множество всех прямых, проходящих через точку $P$. Для точки $P$ условие задачи эквивалентно тому, что не существует прямой $l \in L_P$, которая не пересекает ни $K_1$, ни $K_2$.

Рассмотрим «угловой обзор» кругов из точки $P$. Множество прямых из $L_P$, пересекающих круг $K_1$, образует замкнутый двойной угол (конус), границами которого являются две касательные, проведённые из точки $P$ к окружности круга $K_1$. Аналогично для круга $K_2$.

Условие задачи означает, что объединение этих двух конусов должно покрывать всё множество прямых $L_P$. Это возможно только в том случае, если эти конусы пересекаются по границе или перекрываются таким образом, что не оставляют «зазора» из прямых, не пересекающих ни один из кругов.

Для того чтобы не было зазора, необходимо, чтобы одна из касательных из точки $P$ к кругу $K_1$ совпадала с одной из касательных из точки $P$ к кругу $K_2$. Чтобы объединение конусов покрывало все прямые, обе касательные к $K_1$ из точки $P$ должны совпадать с обеими касательными к $K_2$ из точки $P$.

Точка, из которой две окружности видны под одним углом и имеют общие касательные, является центром гомотетии (центром подобия) этих двух окружностей. Так как круги не имеют общих точек, они либо находятся один вне другого, либо один внутри другого.

Случай 1: Круги находятся один вне другого.

В этом случае существуют два центра гомотетии:

1. $S$ — внутренний центр гомотетии, точка пересечения общих внутренних касательных. $S$ является центром гомотетии с отрицательным коэффициентом $k = -R_2/R_1$.
2. $E$ — внешний центр гомотетии, точка пересечения общих внешних касательных (существует, если $R_1 \neq R_2$). $E$ является центром гомотетии с положительным коэффициентом $k = R_2/R_1$.

Проверим, удовлетворяет ли, например, точка $S$ условию задачи. (Для точки $E$ рассуждения аналогичны).

Пусть $l$ — произвольная прямая, проходящая через центр гомотетии $S$. Гомотетия с центром $S$ переводит круг $K_1$ в круг $K_2$, а прямую $l$ — в саму себя. Пусть $d_1$ — расстояние от центра $O_1$ до прямой $l$, а $d_2$ — расстояние от центра $O_2$ до прямой $l$. Из свойств гомотетии следует, что отношение расстояний от центра гомотетии до соответствующих объектов постоянно, поэтому для расстояний от центров кругов до прямой $l$ выполняется соотношение:$${d_2 \over d_1} = {|k|} = {R_2 \over R_1}$$Отсюда получаем:$${d_1 \over R_1} = {d_2 \over R_2}$$Прямая $l$ не пересекает круг $K_1$ тогда и только тогда, когда $d_1 > R_1$.Прямая $l$ не пересекает круг $K_2$ тогда и только тогда, когда $d_2 > R_2$.

Из соотношения ${d_1 / R_1} = {d_2 / R_2}$ следует, что условие $d_1 > R_1$ эквивалентно условию $d_2 > R_2$. Это означает, что любая прямая, проходящая через точку $S$, не пересекает круг $K_1$ в том и только в том случае, если она не пересекает круг $K_2$.

Однако, множество прямых, проходящих через $S$ и не пересекающих $K_1$, непусто. Это прямые, которые лежат вне конуса, образованного общими внутренними касательными. Поскольку такие прямые существуют, и для них выполняется условие "не пересекать $K_1$" и "не пересекать $K_2$" одновременно, то точка $S$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Один круг находится внутри другого.

Пусть круг $K_2$ находится внутри $K_1$. По условию, искомая точка $P$ не может принадлежать ни одному из кругов. Следовательно, $P$ должна находиться вне большего круга $K_1$. Но для любой точки $P$ вне круга $K_1$ можно провести касательную к его границе. Прямая, незначительно сдвинутая относительно этой касательной, пройдет через $P$, но не пересечет круг $K_1$. А поскольку $K_2$ находится внутри $K_1$, эта прямая не пересечет и $K_2$. Таким образом, и в этом случае искомой точки не существует.

Итак, мы показали, что ни в одном из возможных случаев расположения кругов такой точки не существует.

Ответ: Нет, такой точки не существует.

Условие 2015-2022.

606. Даны два круга, которые не имеют общих точек. Существует ли точка, которая не принадлежит ни одному из кругов, такая, что любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает хотя бы один из этих кругов?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).