Номер 554, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 554, страница 120.

Условие 2023.

554. Основание равнобедренного треугольника на 2 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведённая к основанию, равна 8 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Согласно условию, основание на 2 см больше, следовательно, длина основания составляет $(x + 2)$ см.
Высота, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, является также медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
В каждом из этих прямоугольных треугольников:
- гипотенуза — это боковая сторона исходного треугольника, равная $x$ см;
- один катет — это высота, равная $8$ см;
- второй катет — это половина основания, равная $\frac{x+2}{2}$ см.
По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Составим и решим уравнение:
$x^2 = 8^2 + \left(\frac{x+2}{2}\right)^2$
$x^2 = 64 + \frac{(x+2)^2}{4}$
$x^2 = 64 + \frac{x^2 + 4x + 4}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4x^2 = 4 \cdot 64 + (x^2 + 4x + 4)$
$4x^2 = 256 + x^2 + 4x + 4$
$4x^2 - x^2 - 4x - 260 = 0$
$3x^2 - 4x - 260 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-260) = 16 + 3120 = 3136$
$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 56}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 56}{2 \cdot 3} = \frac{-52}{6} \approx -8.67$
Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x=10$.
Таким образом, боковая сторона треугольника равна $10$ см.
Основание треугольника равно $x+2 = 10+2 = 12$ см.
Стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 12 см.
Ответ: боковые стороны треугольника равны 10 см, основание — 12 см.

Условие 2015-2022.

554. Основание равнобедренного треугольника на 2 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведённая к основанию, равна 8 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).