Номер 640, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 640, страница 136.

Условие 2023.

640. Разрежьте ромб на четыре четырёхугольника так, чтобы каждый из них являлся вписанным в окружность и описанным около окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Четырёхугольник, который можно одновременно вписать в окружность и описать около окружности, называется бицентрическим. Для того чтобы четырёхугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов равнялась $180^\circ$. Для того чтобы четырёхугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны (согласно теореме Пито).

Для решения задачи выполним следующее построение:
Пусть дан ромб $ABCD$. Точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Эта точка также является центром окружности, вписанной в ромб.
Проведём разрезы из центра $O$ к точкам касания вписанной окружности со сторонами ромба. Пусть $K, L, M, N$ — точки касания на сторонах $AB, BC, CD, DA$ соответственно.
Отрезки $OK, OL, OM, ON$ являются искомыми линиями разреза. Они делят ромб на четыре четырёхугольника: $ONAK, OKBL, OLCM$ и $OMDN$.

Докажем, что каждый из полученных четырёхугольников является бицентрическим. В силу симметрии ромба достаточно доказать это для одного из них, например, для $OKBL$.

Доказательство того, что четырёхугольник $OKBL$ является вписанным
По определению точки касания, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезки $OK$ и $OL$ перпендикулярны сторонам $AB$ и $BC$ соответственно:
$OK \perp AB \implies \angle OKB = 90^\circ$
$OL \perp BC \implies \angle OLB = 90^\circ$
В четырёхугольнике $OKBL$ углы $\angle OKB$ и $\angle OLB$ являются противоположными. Их сумма равна:
$\angle OKB + \angle OLB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Поскольку сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, он является вписанным в окружность.

Доказательство того, что четырёхугольник $OKBL$ является описанным
Проверим выполнение условия для описанного четырёхугольника: суммы длин противоположных сторон должны быть равны. Для $OKBL$ (со сторонами $OK, KB, BL, LO$) это условие выглядит так:
$OK + BL = KB + OL$
Отрезки $OK$ и $OL$ являются радиусами одной и той же вписанной окружности, поэтому их длины равны: $OK = OL = r$.
Отрезки $KB$ и $BL$ являются отрезками касательных, проведённых к окружности из одной точки $B$. По свойству касательных, их длины равны: $KB = BL$.
Подставим эти равенства в проверяемое условие:
$r + BL = KB + r$
Так как $KB = BL$, равенство является тождеством. Следовательно, четырёхугольник $OKBL$ является описанным.

Таким образом, четырёхугольник $OKBL$ является и вписанным, и описанным, то есть бицентрическим. Аналогичные рассуждения полностью применимы к трём остальным четырёхугольникам ($OLCM, OMDN, ONAK$), которые также являются бицентрическими. Предложенный способ разрезания ромба удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Ромб нужно разрезать отрезками, соединяющими его центр (точку пересечения диагоналей) с точками касания вписанной в ромб окружности с его сторонами.

Условие 2015-2022.

640. Разрежьте ромб на четыре четырёхугольника так, чтобы каждый из них являлся вписанным в окружность и описанным около окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).