Номер 639, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 639, страница 136.

Условие 2023.

639. Известно, что $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Найдите отрезки $BO$ и $OD$, если $AO : OC = 7 : 6$ и $BD = 39$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники, образованные при пересечении диагоналей трапеции: $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (основания трапеции), то:

• $\angle OCB = \angle OAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).
• $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольник $\triangle BOC$ подобен треугольнику $\triangle DOA$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BO}{DO} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD}$

По условию задачи дано отношение $AO : OC = 7 : 6$. Из этого следует, что $\frac{AO}{OC} = \frac{7}{6}$.

Тогда обратное отношение $\frac{OC}{OA} = \frac{6}{7}$.

Подставим это значение в нашу пропорцию:

$\frac{BO}{DO} = \frac{OC}{OA} = \frac{6}{7}$

Таким образом, отрезки $BO$ и $OD$ относятся как $6:7$.

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда можно записать, что $BO = 6x$ и $OD = 7x$.

Сумма этих отрезков равна длине всей диагонали $BD$, которая по условию составляет 39 см:

$BO + OD = BD$

$6x + 7x = 39$

$13x = 39$

$x = \frac{39}{13}$

$x = 3$

Теперь можем найти длины искомых отрезков:

$BO = 6x = 6 \cdot 3 = 18$ см

$OD = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см

Ответ: $BO = 18$ см, $OD = 21$ см.

Условие 2015-2022.

639. Известно, что $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Найдите отрезки $BO$ и $OD$, если $AO : OC = 7 : 6$ и $BD = 39$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).