Номер 632, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 632, страница 135.

Условие 2023.

632. Большая диагональ ромба равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб со стороной $a$, большей диагональю $d$, меньшей диагональю $d_1$ и острым углом $\alpha$.

Свойства ромба, которые мы будем использовать:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
• Точка пересечения делит диагонали пополам.
• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Его гипотенузой будет сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей. Большая диагональ лежит против тупого угла ромба, а меньшая — против острого. Следовательно, катеты нашего треугольника равны $\frac{d}{2}$ и $\frac{d_1}{2}$.

Углы этого треугольника равны $90^\circ$, $\frac{\alpha}{2}$ (половина острого угла) и $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ (половина тупого угла). Катет $\frac{d_1}{2}$ лежит против угла $\frac{\alpha}{2}$, а катет $\frac{d}{2}$ — против угла $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ (и прилежит к углу $\frac{\alpha}{2}$).

Найдём сторону ромба

В прямоугольном треугольнике, который мы рассматриваем, сторона ромба $a$ является гипотенузой. Мы знаем катет, прилежащий к углу $\frac{\alpha}{2}$, он равен $\frac{d}{2}$. Используя определение косинуса, найдём гипотенузу $a$.

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{d/2}{a}$

Выразим отсюда сторону $a$:

$a = \frac{d/2}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: Сторона ромба равна $\frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Найдём меньшую диагональ ромба

В том же прямоугольном треугольнике найдём второй катет, который равен половине меньшей диагонали ($\frac{d_1}{2}$). Мы знаем прилежащий катет $\frac{d}{2}$ и противолежащий угол $\frac{\alpha}{2}$. Используем определение тангенса.

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{d_1/2}{d/2} = \frac{d_1}{d}$

Выразим отсюда меньшую диагональ $d_1$:

$d_1 = d \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: Меньшая диагональ ромба равна $d \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Условие 2015-2022.

632. Большая диагональ ромба равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).