Номер 631, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 631, страница 135.

Условие 2023.

631. Один из катетов прямоугольного треугольника равен $a$. Угол между вторым катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла, равен $\varphi$. Найдите неизвестные стороны треугольника и проведённую высоту.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Введём обозначения: пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle C = 90^\circ $). Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$.

По условию, один из катетов равен $a$. Без ограничения общности, пусть катет $AC = a$. Тогда второй катет — это $BC$. Угол между вторым катетом ($BC$) и высотой ($CH$) равен $ \phi $, то есть $ \angle BCH = \phi $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (поскольку $CH$ — высота, $ \angle CHB = 90^\circ $). Сумма его острых углов равна $ 90^\circ $, следовательно, $ \angle B + \angle BCH = 90^\circ $. Отсюда находим угол $B$: $ \angle B = 90^\circ - \angle BCH = 90^\circ - \phi $.

Далее, в исходном треугольнике $ABC$ сумма острых углов также равна $ 90^\circ $: $ \angle A + \angle B = 90^\circ $. Подставив значение для угла $B$, получаем: $ \angle A + (90^\circ - \phi) = 90^\circ $, из чего следует, что $ \angle A = \phi $.

Таким образом, задача сводится к нахождению элементов прямоугольного треугольника $ABC$, в котором известен катет $AC=a$ и прилежащий к нему острый угол $ \angle A = \phi $.

Неизвестные стороны треугольника

Второй катет $BC$ является противолежащим к углу $A$. Его можно найти через тангенс угла $A$: $ \tan(\angle A) = \frac{BC}{AC} $, откуда $ BC = AC \cdot \tan(\angle A) = a \tan(\phi) $.

Гипотенузу $AB$ можно найти через косинус угла $A$, так как катет $AC$ является прилежащим к этому углу: $ \cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} $, откуда $ AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)} = \frac{a}{\cos(\phi)} $.

Ответ: второй катет равен $a \tan(\phi)$, гипотенуза равна $\frac{a}{\cos(\phi)}$.

Проведённая высота

Высоту $CH$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $AHC$ ($ \angle AHC = 90^\circ $). В этом треугольнике гипотенуза $AC = a$, а $CH$ — катет, противолежащий углу $A=\phi$. Тогда из определения синуса: $ \sin(\angle A) = \frac{CH}{AC} $, откуда $ CH = AC \cdot \sin(\angle A) = a \sin(\phi) $.

Ответ: высота равна $a \sin(\phi)$.

Условие 2015-2022.

631. Один из катетов прямоугольного треугольника равен $a$. Угол между вторым катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла, равен $\phi$. Найдите неизвестные стороны треугольника и проведённую высоту.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).