Номер 628, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 628, страница 135.

Условие 2023.

628. Из точки $M$, лежащей вне прямой $l$, проведены к этой прямой наклонные $MN$ и $MK$, образующие с ней углы $30^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. Найдите наклонную $MK$, если проекция наклонной $MN$ на прямую $l$ равна $4\sqrt{3}$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $M$ — точка, не лежащая на прямой $l$. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MH$ на прямую $l$. Таким образом, $MH$ — это расстояние от точки $M$ до прямой $l$.

$MN$ и $MK$ — это наклонные, проведенные из точки $M$ к прямой $l$. $HN$ и $HK$ — их проекции на прямую $l$ соответственно. Угол между наклонной и прямой равен углу между наклонной и её проекцией.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle MHN$ и $\triangle MHK$ (с прямыми углами при вершине $H$).

По условию задачи:

• Угол между наклонной $MN$ и прямой $l$ равен $30^{\circ}$, следовательно, $\angle MNH = 30^{\circ}$.
• Угол между наклонной $MK$ и прямой $l$ равен $45^{\circ}$, следовательно, $\angle MKH = 45^{\circ}$.
• Проекция наклонной $MN$ на прямую $l$ равна $4\sqrt{3}$ см, следовательно, $HN = 4\sqrt{3}$ см.

1. Найдем длину перпендикуляра $MH$ из треугольника $\triangle MHN$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MHN$ катет $MH$ является противолежащим углу $\angle MNH$, а катет $HN$ — прилежащим. Мы можем использовать тангенс этого угла: $ \tan(\angle MNH) = \frac{MH}{HN} $

Подставим известные значения: $ \tan(30^{\circ}) = \frac{MH}{4\sqrt{3}} $

Зная, что $ \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, получаем уравнение: $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{MH}{4\sqrt{3}} $

Отсюда находим длину $MH$: $ MH = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 $ см.

2. Найдем длину наклонной $MK$ из треугольника $\triangle MHK$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MHK$ нам известен катет $MH = 4$ см и угол $\angle MKH = 45^{\circ}$. Наклонная $MK$ является гипотенузой этого треугольника. Мы можем использовать синус угла: $ \sin(\angle MKH) = \frac{MH}{MK} $

Подставим известные значения: $ \sin(45^{\circ}) = \frac{4}{MK} $

Зная, что $ \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем уравнение: $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{MK} $

Выразим из него $MK$: $ MK = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ MK = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} $ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

Условие 2015-2022.

628. Из точки $M$, лежащей вне прямой $l$, проведены к этой прямой наклонные $MN$ и $MK$, образующие с ней углы $30^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. Найдите наклонную $MK$, если проекция наклонной $MN$ на прямую $l$ равна $4\sqrt{3}$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).