Номер 623, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 623, страница 134.

Условие 2023.

623. Сечение траншеи имеет форму равнобокой трапеции (рис. 201). Найдите угол, который образуют стенки траншеи с её дном.

Рис. 201

10 м

6 м

4 м

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Сечение траншеи имеет форму равнобокой трапеции. Обозначим её вершины A, B, C, D, где AB — верхнее основание, а DC — нижнее основание (дно траншеи). Согласно условию, длина верхнего основания $AB = 10$ м, длина нижнего основания $DC = 4$ м, а высота трапеции $h = 6$ м.

Задача состоит в том, чтобы найти угол между боковой стенкой и дном, то есть внутренний угол трапеции при нижнем основании, например, $\angle BCD$. В равнобокой трапеции углы при любом из оснований равны, то есть $\angle ADC = \angle BCD$.

Для решения проведём из вершин C и D меньшего основания высоты к большему основанию AB. Пусть K и H — точки пересечения высот с основанием AB. Таким образом, мы получаем два равных прямоугольных треугольника, $\triangle BKC$ и $\triangle AHD$, и прямоугольник HKCD.

Высоты CK и DH равны высоте трапеции: $CK = DH = 6$ м. Длина отрезка HK равна длине нижнего основания: $HK = DC = 4$ м.

Так как трапеция равнобокая, отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, равны: $BK = AH$. Длину этих отрезков можно найти из общей длины основания AB:

$AB = AH + HK + BK$

Поскольку $AH = BK$, получаем:

$10 = BK + 4 + BK$
$10 = 2 \cdot BK + 4$
$2 \cdot BK = 10 - 4 = 6$
$BK = 3$ м.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKC$. Мы знаем длины его катетов: $BK = 3$ м и $CK = 6$ м.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$. Мы можем найти $\angle BCD$, если сначала вычислим $\angle ABC$.

Угол $\angle ABC$ (он же $\angle KBC$) в треугольнике $\triangle BKC$ можно найти через тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle ABC) = \frac{CK}{BK} = \frac{6}{3} = 2$.

Следовательно, угол $\angle ABC = \arctan(2)$.

Теперь находим искомый угол $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \arctan(2)$.

Вычислим численное значение. Используя калькулятор, находим $\arctan(2) \approx 63.43^\circ$.

$\angle BCD \approx 180^\circ - 63.43^\circ \approx 116.57^\circ$.

Ответ: $116.57^\circ$.

Условие 2015-2022.

623. Сечение траншеи имеет форму равнобокой трапеции (рис. 189). Найдите угол, который образуют стенки траншеи с её дном.

Рис. 189

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).