Номер 621, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 621, страница 134.

Условие 2023.

621. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна $a$.

Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен $30^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию, одна из его диагоналей перпендикулярна его стороне. Рассмотрим два возможных случая, которые, как мы увидим, приводят к одному и тому же результату.

Случай 1: Меньшая диагональ перпендикулярна стороне.

Пусть диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $AD$. Тогда треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CAD = 90^\circ$. Длина этой диагонали, по условию, равна $a$, то есть $AC = a$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. По условию, один из углов параллелограмма равен $30^\circ$, значит, другой угол равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Угол параллелограмма $\angle A$ (то есть $\angle DAB$) равен сумме углов $\angle CAD$ и $\angle CAB$. Так как $\angle CAD = 90^\circ$, то $\angle DAB = 90^\circ + \angle CAB$, что означает, что $\angle DAB > 90^\circ$. Следовательно, $\angle DAB$ — это тупой угол параллелограмма, и $\angle DAB = 150^\circ$.

Тогда острый угол параллелограмма, $\angle D$ (то есть $\angle ADC$), равен $30^\circ$.

Теперь мы можем найти стороны параллелограмма, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. В этом треугольнике нам известны угол $\angle ADC = 30^\circ$ и противолежащий ему катет $AC = a$. Стороны параллелограмма — это катет $AD$ и гипотенуза $CD$.

1. Найдем сторону $AD$ (прилежащий катет):
$\text{tg}(\angle ADC) = \frac{AC}{AD} \Rightarrow \text{tg}(30^\circ) = \frac{a}{AD}$
Поскольку $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:
$AD = \frac{a}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{a}{1/\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$.

2. Найдем сторону $CD$ (гипотенуза):
$\text{sin}(\angle ADC) = \frac{AC}{CD} \Rightarrow \text{sin}(30^\circ) = \frac{a}{CD}$
Поскольку $\text{sin}(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$CD = \frac{a}{\text{sin}(30^\circ)} = \frac{a}{1/2} = 2a$.

Таким образом, стороны параллелограмма равны $a\sqrt{3}$ и $2a$.

Случай 2: Большая диагональ перпендикулярна стороне.

Пусть диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Тогда треугольник $\triangle ABD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABD = 90^\circ$. Длина этой диагонали равна $a$, то есть $BD=a$.

Угол параллелограмма $\angle B$ (то есть $\angle ABC$) равен сумме углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$. Так как $\angle ABD = 90^\circ$, то $\angle ABC > 90^\circ$. Следовательно, $\angle ABC$ — это тупой угол параллелограмма, равный $150^\circ$.

Тогда острый угол параллелограмма, $\angle A$ (то есть $\angle DAB$), равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. В нем известны угол $\angle DAB = 30^\circ$ и противолежащий ему катет $BD = a$. Стороны параллелограмма — это катет $AB$ и гипотенуза $AD$.

1. Найдем сторону $AB$ (прилежащий катет):
$\text{tg}(\angle DAB) = \frac{BD}{AB} \Rightarrow \text{tg}(30^\circ) = \frac{a}{AB}$
$AB = \frac{a}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{a}{1/\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$.

2. Найдем сторону $AD$ (гипотенуза):
$\text{sin}(\angle DAB) = \frac{BD}{AD} \Rightarrow \text{sin}(30^\circ) = \frac{a}{AD}$
$AD = \frac{a}{\text{sin}(30^\circ)} = \frac{a}{1/2} = 2a$.

В обоих случаях мы получили, что стороны параллелограмма равны $a\sqrt{3}$ и $2a$.

Ответ: стороны параллелограмма равны $a\sqrt{3}$ и $2a$.

Условие 2015-2022.

621. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна $a$.

Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен $30^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).