Номер 614, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 614, страница 133.

Условие 2023.

614. Решите прямоугольный треугольник:

1) по катету и острому углу: $a = 34 \text{ см}$, $\alpha = 55^\circ$;

2) по гипотенузе и острому углу: $c = 16 \text{ см}$, $\beta = 18^\circ$;

3) по катету и гипотенузе: $b = 12 \text{ см}$, $c = 13 \text{ см}$;

4) по двум катетам: $a = 4 \text{ см}$, $b = 14 \text{ см}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

В задачах приняты стандартные обозначения для прямоугольного треугольника: $a$, $b$ — катеты; $c$ — гипотенуза; $α$, $β$ — острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$ соответственно; $γ=90°$ — прямой угол.

1) по катету и острому углу: $a = 34$ см, $α = 55°$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$. Найдем угол $β$:
$β = 90° - α = 90° - 55° = 35°$

Найдем второй катет $b$ через тангенс угла $α$:
$tan(α) = \frac{a}{b} \implies b = \frac{a}{tan(α)}$
$b = \frac{34}{tan(55°)} \approx \frac{34}{1.4281} \approx 23.8$ см

Найдем гипотенузу $c$ через синус угла $α$:
$sin(α) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{sin(α)}$
$c = \frac{34}{sin(55°)} \approx \frac{34}{0.8192} \approx 41.5$ см

Ответ: $β = 35°$, $b \approx 23.8$ см, $c \approx 41.5$ см.

2) по гипотенузе и острому углу: $c = 16$ см, $β = 18°$

Найдем угол $α$:
$α = 90° - β = 90° - 18° = 72°$

Найдем катет $a$, используя косинус угла $β$:
$cos(β) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot cos(β)$
$a = 16 \cdot cos(18°) \approx 16 \cdot 0.9511 \approx 15.2$ см

Найдем катет $b$, используя синус угла $β$:
$sin(β) = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot sin(β)$
$b = 16 \cdot sin(18°) \approx 16 \cdot 0.3090 \approx 4.9$ см

Ответ: $α = 72°$, $a \approx 15.2$ см, $b \approx 4.9$ см.

3) по катету и гипотенузе: $b = 12$ см, $c = 13$ см

Найдем катет $a$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см

Найдем угол $β$, используя синус:
$sin(β) = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}$
$β = arcsin(\frac{12}{13}) \approx 67.4°$

Найдем угол $α$:
$α = 90° - β \approx 90° - 67.4° = 22.6°$

Ответ: $a = 5$ см, $α \approx 22.6°$, $β \approx 67.4°$.

4) по двум катетам: $a = 4$ см, $b = 14$ см

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 14^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \approx 14.6$ см

Найдем угол $α$, используя тангенс:
$tan(α) = \frac{a}{b} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
$α = arctan(\frac{2}{7}) \approx 15.9°$

Найдем угол $β$:
$β = 90° - α \approx 90° - 15.9° = 74.1°$

Ответ: $c = \sqrt{212} \approx 14.6$ см, $α \approx 15.9°$, $β \approx 74.1°$.

Условие 2015-2022.

614. Решите прямоугольный треугольник:

1) по катету и острому углу: $a = 34$ см, $\alpha = 55^\circ$;

2) по гипотенузе и острому углу: $c = 16$ см, $\beta = 18^\circ$;

3) по катету и гипотенузе: $b = 12$ см, $c = 13$ см;

4) по двум катетам: $a = 4$ см, $b = 14$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).