Номер 613, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 613, страница 133.

Условие 2023.

613. Решите прямоугольный треугольник:

1) по гипотенузе и острому углу: $c = 28$ см, $\alpha = 48^\circ$;

2) по катету и острому углу: $a = 56$ см, $\beta = 74^\circ$;

3) по катету и гипотенузе: $a = 5$ см, $c = 9$ см;

4) по двум катетам: $a = 3$ см, $b = 7$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Решение прямоугольного треугольника состоит в нахождении всех его неизвестных сторон и углов по известным элементам. Примем стандартные обозначения: $a$ и $b$ – катеты, $c$ – гипотенуза, $α$ и $β$ – острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$ соответственно, $γ=90°$ – прямой угол.

1) по гипотенузе и острому углу: c = 28 см, α = 48°

Дано: гипотенуза $c = 28$ см, острый угол $α = 48°$.

Требуется найти: катет $a$, катет $b$, острый угол $β$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, поэтому второй острый угол $β$ равен:

$β = 90° - α = 90° - 48° = 42°$

Катет $a$, противолежащий углу $α$, находим через определение синуса:

$\sin(α) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \sin(α) = 28 \cdot \sin(48°)$

Используя калькулятор, получаем $a \approx 28 \cdot 0.7431 \approx 20.81$ см.

Катет $b$, прилежащий к углу $α$, находим через определение косинуса:

$\cos(α) = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot \cos(α) = 28 \cdot \cos(48°)$

Используя калькулятор, получаем $b \approx 28 \cdot 0.6691 \approx 18.73$ см.

Ответ: $β = 42°$, $a \approx 20.81$ см, $b \approx 18.73$ см.

2) по катету и острому углу: a = 56 см, β = 74°

Дано: катет $a = 56$ см, острый угол $β = 74°$.

Требуется найти: катет $b$, гипотенузу $c$, острый угол $α$.

Находим второй острый угол $α$:

$α = 90° - β = 90° - 74° = 16°$

Катет $b$, противолежащий углу $β$, находим через определение тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему):

$\tan(β) = \frac{b}{a} \implies b = a \cdot \tan(β) = 56 \cdot \tan(74°)$

Используя калькулятор, получаем $b \approx 56 \cdot 3.4874 \approx 195.30$ см.

Гипотенузу $c$ находим через определение косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе):

$\cos(β) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\cos(β)} = \frac{56}{\cos(74°)}$

Используя калькулятор, получаем $c \approx \frac{56}{0.2756} \approx 203.17$ см.

Ответ: $α = 16°$, $b \approx 195.30$ см, $c \approx 203.17$ см.

3) по катету и гипотенузе: a = 5 см, c = 9 см

Дано: катет $a = 5$ см, гипотенуза $c = 9$ см.

Требуется найти: катет $b$, острый угол $α$, острый угол $β$.

Катет $b$ находим по теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2 \implies b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ см.

Приближенное значение: $b \approx 7.48$ см.

Угол $α$, противолежащий катету $a$, находим через синус:

$\sin(α) = \frac{a}{c} = \frac{5}{9}$

$α = \arcsin(\frac{5}{9}) \approx 33.75°$. Переводя в градусы и минуты, получаем $α \approx 33°45'$.

Угол $β$ находим как разность $90°$ и угла $α$:

$β = 90° - α \approx 90° - 33°45' = 56°15'$.

Ответ: $b = 2\sqrt{14} \approx 7.48$ см, $α \approx 33°45'$, $β \approx 56°15'$.

4) по двум катетам: a = 3 см, b = 7 см

Дано: катет $a = 3$ см, катет $b = 7$ см.

Требуется найти: гипотенузу $c$, острый угол $α$, острый угол $β$.

Гипотенузу $c$ находим по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$ см.

Приближенное значение: $c \approx 7.62$ см.

Угол $α$, противолежащий катету $a$, находим через тангенс:

$\tan(α) = \frac{a}{b} = \frac{3}{7}$

$α = \arctan(\frac{3}{7}) \approx 23.20°$. Переводя в градусы и минуты, получаем $α \approx 23°12'$.

Угол $β$, противолежащий катету $b$, находим как разность $90°$ и угла $α$:

$β = 90° - α \approx 90° - 23°12' = 66°48'$.

Ответ: $c = \sqrt{58} \approx 7.62$ см, $α \approx 23°12'$, $β \approx 66°48'$.

Условие 2015-2022.

613. Решите прямоугольный треугольник:

1) по гипотенузе и острому углу: $c = 28 \text{ см}, \alpha = 48^\circ$;

2) по катету и острому углу: $a = 56 \text{ см}, \beta = 74^\circ$;

3) по катету и гипотенузе: $a = 5 \text{ см}, c = 9 \text{ см}$;

4) по двум катетам: $a = 3 \text{ см}, b = 7 \text{ см}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).