Номер 619, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 619, страница 134.

Условие 2023.

619. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а высота, проведённая к основанию, – $3\sqrt{3}$ см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и боковыми сторонами AB = BC. Угол при вершине ∠B = 120°. Проведём высоту BH к основанию AC. По условию, длина высоты BH = $3\sqrt{3}$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой и медианой. Это означает, что высота BH делит угол при вершине B пополам, создавая два равных угла ∠ABH = ∠CBH = $\frac{120°}{2} = 60°$, и делит основание AC на два равных отрезка AH = HC. Таким образом, треугольник ABC разделяется на два конгруэнтных прямоугольных треугольника: ABH и CBH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (∠H = 90°). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол при основании A равен: ∠A = 180° - 90° - ∠ABH = 180° - 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABH с углами 30°, 60° и 90° катет, лежащий напротив угла в 30° (в нашем случае это BH), равен половине гипотенузы (AB). Исходя из этого, можем найти длину боковой стороны AB:

$AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то вторая боковая сторона BC также равна $6\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём длину основания AC. Для этого сначала найдём катет AH в треугольнике ABH. Катет AH лежит напротив угла в 60°. Его длину можно найти через тангенс угла ∠ABH:

$\tan(∠ABH) = \frac{AH}{BH} \implies AH = BH \cdot \tan(∠ABH)$

$AH = 3\sqrt{3} \cdot \tan(60°)$

Поскольку $\tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем:

$AH = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Так как BH является медианой, то основание AC в два раза больше отрезка AH:

$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны $6\sqrt{3}$ см, а основание — 18 см.

Условие 2015-2022.

619. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $120^\circ$, а высота, проведённая к основанию, – $3\sqrt{3}$ см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).