Номер 622, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 622, страница 134.

Условие 2023.

622. Сторона ромба равна $a$, а один из его углов – $60^\circ$. Найдите диагонали ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб со стороной $a$. По определению ромба, все его стороны равны $a$. По условию, один из углов ромба равен $60^\circ$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны равны $a$. Угол между этими сторонами равен $60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы при основании этого равнобедренного треугольника равны между собой и составляют $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, третья его сторона, которая является меньшей диагональю ромба ($d_1$), также равна $a$.
$d_1 = a$.

Теперь найдем большую диагональ ($d_2$). Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Значит, другой угол ромба равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Воспользуемся свойством диагоналей ромба: они пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катетами такого треугольника являются половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенузой — сторона ромба $a$.
Мы уже знаем, что $d_1 = a$, значит, один из катетов равен $\frac{a}{2}$.

Применим теорему Пифагора к одному из этих прямоугольных треугольников:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
Подставим известное значение $d_1$:
$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
$\frac{a^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$
Умножим обе части уравнения на 4:
$a^2 + d_2^2 = 4a^2$
$d_2^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$
$d_2 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Ответ: диагонали ромба равны $a$ и $a\sqrt{3}$.

Условие 2015-2022.

622. Сторона ромба равна $a$, а один из его углов $-$ $60^\circ$. Найдите диагонали ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).