Номер 627, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 627, страница 135.

Условие 2023.

627. Из точки $D$, лежащей вне прямой $n$, проведены к этой прямой наклонные $DK$ и $DB$, образующие с ней углы $45^\circ$ и $60^\circ$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $DK$ на прямую $n$, если $DB = 10\sqrt{3}$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть D — точка, лежащая вне прямой n. Опустим из точки D перпендикуляр DH на прямую n. Точка H — это основание перпендикуляра. Отрезок DH — это расстояние от точки D до прямой n.

DK и DB — это наклонные, проведенные из точки D к прямой n. Их основаниями являются точки K и B на прямой n.

Отрезок HK является ортогональной проекцией наклонной DK на прямую n, а отрезок HB — проекцией наклонной DB.

Угол между наклонной и прямой — это угол между этой наклонной и её проекцией на прямую. Таким образом, из условия задачи мы имеем: $\angle DKH = 45^\circ$ и $\angle DBH = 60^\circ$.

В результате нашего построения образовались два прямоугольных треугольника: $\triangle DHB$ и $\triangle DHK$ ($\angle DHB = \angle DHK = 90^\circ$), у которых общий катет DH.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHB$. Нам известны гипотенуза $DB = 10\sqrt{3}$ см и прилежащий к проекции угол $\angle DBH = 60^\circ$. Мы можем найти длину катета DH, используя определение синуса:

$\sin(\angle DBH) = \frac{DH}{DB}$

Отсюда выразим DH:

$DH = DB \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем известные величины в формулу:

$DH = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHK$. Нам известен катет $DH = 15$ см и угол $\angle DKH = 45^\circ$. Требуется найти длину второго катета HK, который и является искомой проекцией наклонной DK.

Поскольку в прямоугольном треугольнике $\triangle DHK$ один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол $\angle KDH$ также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle DHK$ является равнобедренным, а его катеты равны:

$HK = DH$

Следовательно, $HK = 15$ см.

Ответ: 15 см.

Условие 2015-2022.

627. Из точки $D$, лежащей вне прямой $n$, проведены к этой прямой наклонные $DK$ и $DB$, образующие с ней углы $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $DK$ на прямую $n$, если $DB = 10\sqrt{3}$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).