Номер 630, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 630, страница 135.

Условие 2023.

630. Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна $h$, его острый угол равен $\alpha$. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть один из его острых углов, например $\angle A$, равен $\alpha$. Тогда другой острый угол $\angle B = 90^\circ - \alpha$.

Проведём высоту $CD$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. По условию задачи, длина этой высоты $CD = h$. Высота $CD$ перпендикулярна гипотенузе $AB$.

Высота $CD$ делит исходный треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$.

1. Найдём катет AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ (где $\angle CDA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны:

• катет $CD = h$
• угол $\angle A = \alpha$

Сторона $AC$ является гипотенузой в треугольнике $ADC$. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AC}$
Подставим известные значения:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{AC}$
Выразим отсюда катет $AC$:
$AC = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

2. Найдём катет BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (где $\angle CDB = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• катет $CD = h$
• угол $\angle B = 90^\circ - \alpha$

Угол $\angle BCD$ в треугольнике $BDC$ равен $180^\circ - 90^\circ - \angle B = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
Сторона $BC$ является гипотенузой в треугольнике $BDC$. Используем определение косинуса для угла $\angle BCD$:
$\cos(\angle BCD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{BC}$
Подставим известные значения:
$\cos(\alpha) = \frac{h}{BC}$
Выразим отсюда катет $BC$:
$BC = \frac{h}{\cos(\alpha)}$

3. Найдём гипотенузу AB.

Теперь, зная оба катета $AC$ и $BC$ исходного треугольника $ABC$, мы можем найти его гипотенузу $AB$. Из определения синуса для угла $\angle A$ в треугольнике $ABC$:
$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$
$\sin(\alpha) = \frac{h/\cos(\alpha)}{AB}$
Выразим гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{h/\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{h}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, можно записать это выражение в другом виде:
$AB = \frac{2h}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{2h}{\sin(2\alpha)}$

Таким образом, мы нашли все три стороны треугольника.

Ответ: Катеты треугольника равны $\frac{h}{\sin(\alpha)}$ и $\frac{h}{\cos(\alpha)}$, а гипотенуза равна $\frac{h}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$ (что также можно записать как $\frac{2h}{\sin(2\alpha)}$).

Условие 2015-2022.

630. Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна $h$, острый угол равен $\alpha$. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).