Номер 635, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 635, страница 135.

Условие 2023.

635. Одна из сторон треугольника равна $a$, прилежащие к ней углы равны $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник, в котором одна из сторон равна $a$, а прилежащие к ней углы равны $45^\circ$ и $60^\circ$. Обозначим этот треугольник как $ABC$, где сторона $AC = a$, $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$. Требуется найти высоту, проведённую к стороне $AC$. Обозначим эту высоту как $h$, а её основание на стороне $AC$ — как точку $D$. Таким образом, $h = BD$.

Высота $BD$ перпендикулярна стороне $AC$ и делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$. Сторона $AC$ также делится на два отрезка: $AD$ и $DC$. Следовательно, $AC = AD + DC = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. В нём известен угол $\angle A = 45^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, второй острый угол $\angle ABD$ равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку два угла в треугольнике $\triangle ADB$ равны, он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AD = BD$. Так как $BD = h$, то и $AD = h$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDB$. В нём известен угол $\angle C = 60^\circ$. Выразим катет $DC$ через другой катет $BD = h$ с помощью тангенса угла $C$:
$\tan(\angle C) = \frac{BD}{DC}$
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{DC}$
Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$\sqrt{3} = \frac{h}{DC}$
Отсюда выражаем $DC$:
$DC = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Мы знаем, что $a = AD + DC$. Подставим в это равенство найденные выражения для $AD$ и $DC$ через $h$:
$a = h + \frac{h}{\sqrt{3}}$

Теперь решим это уравнение относительно $h$. Вынесем $h$ за скобки:
$a = h \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$a = h \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}\right)$
Выразим $h$ из этого уравнения:
$h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы упростить полученное выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое к знаменателю выражение, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$:
$h = \frac{a \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
В знаменателе применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$h = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$

Ответ: $\frac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$

Условие 2015-2022.

635. Одна из сторон треугольника равна $a$, прилежащие к ней углы равны $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).