Номер 636, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 636, страница 135.

Условие 2023.

636. Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а углы при большем основании – $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту и диагонали трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию, меньшее основание $BC = 7$ см, большее основание $AD = 15$ см. Углы при большем основании равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Пусть $\angle A = 60^\circ$ и $\angle D = 30^\circ$.

1. Нахождение высоты трапеции

Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Так как BH и CK — высоты, то $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$. Четырехугольник HBCK является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой). Следовательно, $BH = CK = h$ (высота трапеции) и $HK = BC = 7$ см.

Отрезки AH и KD можно найти из прямоугольных треугольников ABH и CKD.

В прямоугольном треугольнике ABH ($\angle H = 90^\circ$):
$tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} \implies tan(60^\circ) = \frac{h}{AH}$
$AH = \frac{h}{tan(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$

В прямоугольном треугольнике CKD ($\angle K = 90^\circ$):
$tan(\angle D) = \frac{CK}{KD} \implies tan(30^\circ) = \frac{h}{KD}$
$KD = \frac{h}{tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$

Длина большего основания AD складывается из длин отрезков AH, HK и KD:
$AD = AH + HK + KD$
$15 = \frac{h}{\sqrt{3}} + 7 + h\sqrt{3}$
$15 - 7 = h(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$
$8 = h(\frac{1 + 3}{\sqrt{3}})$
$8 = h(\frac{4}{\sqrt{3}})$
$h = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: Высота трапеции равна $2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение диагоналей трапеции

Для нахождения диагоналей AC и BD воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников ACK и BHD.

Найдем диагональ AC:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK ($\angle K = 90^\circ$).
Катет $CK = h = 2\sqrt{3}$ см.
Катет $AK = AH + HK$. Найдем AH:
$AH = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.
Тогда $AK = 2 + 7 = 9$ см.
По теореме Пифагора:
$AC^2 = AK^2 + CK^2 = 9^2 + (2\sqrt{3})^2 = 81 + 4 \cdot 3 = 81 + 12 = 93$.
$AC = \sqrt{93}$ см.

Найдем диагональ BD:
Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD ($\angle H = 90^\circ$).
Катет $BH = h = 2\sqrt{3}$ см.
Катет $HD = HK + KD$. Найдем KD:
$KD = h\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Тогда $HD = 7 + 6 = 13$ см. (Проверка: $AD = AH + HK + KD = 2 + 7 + 6 = 15$, что соответствует условию).
По теореме Пифагора:
$BD^2 = BH^2 + HD^2 = (2\sqrt{3})^2 + 13^2 = 12 + 169 = 181$.
$BD = \sqrt{181}$ см.

Ответ: Диагонали трапеции равны $\sqrt{93}$ см и $\sqrt{181}$ см.

Условие 2015-2022.

636. Основания трапеции равны $7 \text{ см}$ и $15 \text{ см}$, а углы при большем основании – $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту и диагонали трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).