Номер 634, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 634, страница 135.

Условие 2023.

634. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $30^\circ$. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB = CD$.

По условию задачи, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, что означает $\angle ACD = 90^\circ$.

Также по условию, диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ угол $30^\circ$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, мы можем найти угол $\angle D$ трапеции:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ACD - \angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку трапеция равнобокая, углы при основании $AD$ равны, $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Окружность, описанная около трапеции $ABCD$, является также описанной окружностью для треугольника $\triangle ACD$. Согласно обобщенной теореме синусов для $\triangle ACD$:

$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Выразим длину боковой стороны $CD$:

$CD = 2R \cdot \sin(\angle CAD) = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получится прямоугольный треугольник $\triangle CHD$.

В этом треугольнике $\triangle CHD$ гипотенуза $CD = R$, а угол $\angle D = 60^\circ$. Высота $h = CH$ является катетом, противолежащим углу $\angle D$.

Таким образом, высоту можно найти по определению синуса:

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle D) = R \cdot \sin(60^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Условие 2015-2022.

634. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $30^\circ$. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).