Номер 633, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 633, страница 135.

Условие 2023.

633. Угол ромба равен $\alpha$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите сторону и диагонали ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

сторону
Пусть $a$ — сторона ромба, а $h$ — его высота. Высота ромба, в который можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности, следовательно, $h = 2r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и углом $\alpha$. Высота, опущенная из вершины ромба на противолежащую сторону, связана с гипотенузой соотношением:
$h = a \cdot \sin(\alpha)$
Приравняем два выражения для высоты:
$a \cdot \sin(\alpha) = 2r$
Отсюда выразим сторону $a$:
$a = \frac{2r}{\sin(\alpha)}$
Ответ: $\frac{2r}{\sin(\alpha)}$

диагонали
Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза равна стороне ромба $a$, катеты — половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а острые углы — $\frac{\alpha}{2}$ и $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике:
$\frac{d_1}{2} = a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \implies d_1 = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$
$\frac{d_2}{2} = a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \implies d_2 = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$
Подставим ранее найденное выражение для стороны $a = \frac{2r}{\sin(\alpha)}$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:
$d_1 = 2 \cdot \frac{2r}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4r \sin(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2r}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$
$d_2 = 2 \cdot \frac{2r}{\sin(\alpha)} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4r \cos(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2r}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$
Ответ: $\frac{2r}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$ и $\frac{2r}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Условие 2015-2022.

633. Угол ромба равен $\alpha$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите сторону и диагонали ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).