Номер 637, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 637, страница 135.

Условие 2023.

637. Периметр параллелограмма равен 48 см. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону в отношении $2:1$, считая от вершины острого угла. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон, а $P$ – его периметр.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, $P = 48$ см. Следовательно, $2(a + b) = 48$, откуда получаем, что сумма смежных сторон $a + b = 24$ см.

Пусть $\angle B$ – тупой угол параллелограмма, а $\angle A$ – острый угол. Проведем биссектрису $BK$ тупого угла $\angle B$, которая по условию пересекает сторону $AD$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $BK$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle KBC = \angle AKB$. Так как $BK$ – биссектриса угла $\angle ABC$, то по определению $\angle ABK = \angle KBC$. Из этих двух равенств следует, что $\angle ABK = \angle AKB$. Это означает, что треугольник $ABK$ является равнобедренным, и его боковые стороны, прилегающие к основанию $BK$, равны: $AB = AK$.

Обозначим длины сторон параллелограмма как $AB = a$ и $AD = b$. Тогда из равнобедренности треугольника $ABK$ следует, что длина отрезка $AK$ равна длине стороны $a$, то есть $AK = a$.

По условию задачи, биссектриса делит сторону $AD$ в отношении $2:1$, считая от вершины острого угла $A$. Это означает, что $AK : KD = 2 : 1$.

Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности, тогда $AK = 2x$ и $KD = x$. Так как $AB = AK$, то сторона $a = 2x$. Сторона $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AK + KD$. Следовательно, сторона $b = AD = 2x + x = 3x$.

Теперь подставим выражения для сторон $a$ и $b$ через $x$ в уравнение для полупериметра: $a + b = 24$ $2x + 3x = 24$ $5x = 24$ $x = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Теперь найдем длины сторон параллелограмма: Одна сторона: $a = 2x = 2 \cdot 4.8 = 9.6$ см. Другая сторона: $b = 3x = 3 \cdot 4.8 = 14.4$ см.

Сравнивая длины сторон $9.6$ см и $14.4$ см, находим, что меньшая сторона параллелограмма равна $9.6$ см.

Ответ: $9.6$ см.

Условие 2015-2022.

637. Периметр параллелограмма равен 48 см. Биссектриса тупого угла делит его сторону в отношении 2 : 1, считая от вершины острого угла. Может ли меньшая сторона параллелограмма быть равной 7 см?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).