Номер 3, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 3, страница 137.

Условие 2023.

3. Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза

А) равна сумме катетов

Б) равна сумме квадратов катетов

В) больше катета

Г) равна квадрату суммы катетов

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи необходимо вспомнить теорему Пифагора и проанализировать каждое из предложенных утверждений.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов длин катетов (двух других сторон). Если обозначить длину гипотенузы как c, а длины катетов как a и b, то теорема записывается в виде формулы:

$c^2 = a^2 + b^2$

Из этой формулы можно выразить длину гипотенузы:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответа.

А) равна сумме катетов
Это утверждение означает, что $c = a + b$. Это неверно. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других сторон. Для прямоугольного треугольника это означает $c < a + b$. Например, для треугольника с катетами 3 и 4, гипотенуза равна 5, а сумма катетов $3+4=7$. Очевидно, что $5 < 7$. Таким образом, этот вариант неверен.

Б) равна сумме квадратов катетов
Это утверждение означает, что $c = a^2 + b^2$. Это также неверно. Сумме квадратов катетов равен квадрат гипотенузы ($c^2$), а не сама гипотенуза (c). Для треугольника с катетами 3 и 4, $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, в то время как гипотенуза $c=5$. $5 \neq 25$. Таким образом, этот вариант неверен.

В) больше катета
Это утверждение означает, что $c > a$ и $c > b$. Давайте проверим это, исходя из теоремы Пифагора. Мы знаем, что $c^2 = a^2 + b^2$. Поскольку длина катета b является положительным числом, то $b^2 > 0$. Следовательно, мы можем записать:$c^2 = a^2 + b^2 > a^2$Так как длины сторон c и a положительны, из неравенства $c^2 > a^2$ следует, что $c > a$.Аналогично, так как $a^2 > 0$, то $c^2 = a^2 + b^2 > b^2$, откуда следует, что $c > b$.Таким образом, гипотенуза действительно всегда больше любого из катетов. Это утверждение является прямым следствием теоремы Пифагора. Этот вариант верен.

Г) равна квадрату суммы катетов
Это утверждение означает, что $c = (a + b)^2$. Раскрыв скобки, получим $c = a^2 + 2ab + b^2$. Это неверно. Для треугольника с катетами 3 и 4, гипотенуза $c=5$, а $(a+b)^2 = (3+4)^2 = 7^2 = 49$. $5 \neq 49$. Таким образом, этот вариант неверен.

Единственным верным утверждением, которое следует из теоремы Пифагора, является то, что гипотенуза больше катета.

Ответ: В

Условие 2015-2022.

3. Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза

А) равна сумме катетов

Б) равна сумме квадратов катетов

В) больше катета

Г) равна квадрату суммы катетов

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).