Номер 8, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 8, страница 138.

Условие 2023.

8. Пусть α и β — острые углы прямоугольного неравнобедренного треугольника. Какое из данных равенств верно?

А) $\sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \cos \alpha$

В) $\sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta = \sin \beta$

Б) $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \beta$

Г) $\cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta = \sin \beta$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ являются острыми углами прямоугольного треугольника, их сумма равна $90^\circ$.

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Из этого следуют тригонометрические формулы приведения для острых углов:

$\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

$\cos \beta = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

$\text{tg } \beta = \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha$

Проанализируем каждое из предложенных равенств, используя эти соотношения. Условие, что треугольник неравнобедренный, означает, что $\alpha \neq \beta$, и, следовательно, $\alpha \neq 45^\circ$ и $\beta \neq 45^\circ$.

А) $\sin \alpha \cdot \text{tg } \alpha = \cos \alpha$

Заменим $\text{tg } \alpha$ на отношение синуса к косинусу:

$\sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$

$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$

Умножим обе части на $\cos \alpha$ (поскольку $\alpha$ — острый угол, $\cos \alpha \neq 0$):

$\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

Так как $\alpha$ — острый угол, то $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$, поэтому можно извлечь корень:

$\sin \alpha = \cos \alpha$

Разделим обе части на $\cos \alpha$:

$\text{tg } \alpha = 1$

Это равенство верно только для угла $\alpha = 45^\circ$. Если $\alpha = 45^\circ$, то и $\beta = 45^\circ$, что означает, что треугольник является равнобедренным. Это противоречит условию задачи.

Ответ: Неверно.

Б) $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \beta$

Левая часть равенства по определению тангенса равна $\text{tg } \alpha$.

$\text{tg } \alpha = \text{tg } \beta$

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — острые углы, это равенство выполняется только при $\alpha = \beta$. Это опять же означает, что треугольник равнобедренный, что противоречит условию.

Ответ: Неверно.

В) $\sin \alpha \cdot \text{tg } \beta = \sin \beta$

Воспользуемся формулами приведения: заменим $\text{tg } \beta$ на $\text{ctg } \alpha$ и $\sin \beta$ на $\cos \alpha$.

$\sin \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = \cos \alpha$

Теперь заменим $\text{ctg } \alpha$ на отношение косинуса к синусу:

$\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha$

Сократим $\sin \alpha$ в левой части (поскольку $\alpha$ — острый угол, $\sin \alpha \neq 0$):

$\cos \alpha = \cos \alpha$

Полученное равенство является тождеством, верным для любого острого угла $\alpha$. Следовательно, это равенство верно для любого прямоугольного треугольника, в том числе и для неравнобедренного.

Ответ: Верно.

Г) $\cos \alpha \cdot \text{tg } \beta = \sin \beta$

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin \beta$. Подставим это в левую часть равенства:

$\sin \beta \cdot \text{tg } \beta = \sin \beta$

Поскольку $\beta$ — острый угол, $\sin \beta \neq 0$. Разделим обе части равенства на $\sin \beta$:

$\text{tg } \beta = 1$

Это равенство верно только для угла $\beta = 45^\circ$, что означает, что треугольник равнобедренный. Это противоречит условию задачи.

Ответ: Неверно.

Условие 2015-2022.

8. Пусть $\alpha$ и $\beta$ – острые углы прямоугольного неравнобедренного треугольника. Какое из данных равенств верно?

А) $sin \alpha \cdot tg \alpha = cos \alpha$

В) $sin \alpha \cdot tg \beta = sin \beta$

Б) $\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \beta$

Г) $cos \alpha \cdot tg \beta = sin \beta$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).