Номер 10, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 10, страница 138.

Условие 2023.

10. Длина отрезка x на рисунке 205 равна

А) $\frac{\sqrt{2}}{2} a \sin \alpha$

Б) $\frac{a\sqrt{2}}{2} \operatorname{tg} \alpha$

В) $\frac{a\sqrt{2}}{2} \cos \alpha$

Г) $a\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha$

Рис. 205

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи разобьем ее на несколько шагов, рассмотрев каждый из двух прямоугольных треугольников по отдельности.

Обозначим общую сторону двух треугольников буквой c. Судя по расположению прямых углов на рисунке, эта сторона является катетом для верхнего треугольника и гипотенузой для нижнего.

1. Анализ верхнего прямоугольного треугольника

В верхнем треугольнике сторона a является катетом, прилежащим к прямому углу. Угол α находится между гипотенузой и катетом a. Общая сторона c является вторым катетом, противолежащим углу α.Согласно определению тангенса в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла:

$$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{c}{a} $$

Из этого соотношения мы можем выразить длину общего катета c:

$$ c = a \cdot \operatorname{tg} \alpha $$

2. Анализ нижнего прямоугольного треугольника

В нижнем треугольнике общая сторона c является гипотенузой. Искомый отрезок x является катетом. Угол, противолежащий катету x, равен 45°.Согласно определению синуса в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла:

$$ \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{c} $$

Отсюда мы можем выразить длину катета x:

$$ x = c \cdot \sin 45^\circ $$

Значение синуса 45° — это известная тригонометрическая константа:

$$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Подставив это значение, получаем:

$$ x = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$

3. Нахождение итогового выражения для x

Теперь мы можем объединить результаты, полученные на первых двух шагах. Подставим выражение для c из шага 1 в формулу для x из шага 2:

$$ x = (a \cdot \operatorname{tg} \alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Перегруппировав множители для удобства, получим окончательное выражение для длины отрезка x:

$$ x = \frac{a\sqrt{2}}{2} \operatorname{tg} \alpha $$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом Б).

Ответ: Б) $ \frac{a\sqrt{2}}{2} \operatorname{tg} \alpha $

Условие 2015-2022.

10. Длина отрезка x на рисунке 193 равна

А) $\frac{\sqrt{2}}{2} a \sin \alpha$

Б) $\frac{a\sqrt{2}}{2} \operatorname{tg} \alpha$

В) $\frac{a\sqrt{2}}{2} \cos \alpha$

Г) $a\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha$

Рис. 193

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).