Номер 7, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 7, страница 138.

Условие 2023.

7. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна $a$. Тогда его катет равен

А) $a\frac{\sqrt{2}}{2}$

Б) $a\sqrt{2}$

В) $2a$

Г) $\frac{a}{2}$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $k$, а гипотенузу как $c$. Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, по условию равна $a$.

Способ 1: Использование свойства медианы в прямоугольном треугольнике

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию (в данном случае, к гипотенузе), является также и медианой.

В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Следовательно, длина гипотенузы $c$ в два раза больше длины высоты (которая также является медианой) $a$:
$c = 2a$

Теперь применим теорему Пифагора для нашего треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$k^2 + k^2 = c^2$

$2k^2 = (2a)^2$

$2k^2 = 4a^2$

$k^2 = \frac{4a^2}{2} = 2a^2$

$k = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Способ 2: Использование тригонометрии

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Высота, проведённая к гипотенузе, образует с катетом и частью гипотенузы новый, меньший прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенузой является катет исходного треугольника (длиной $k$);
• одним из катетов является высота (длиной $a$);
• угол, противолежащий этому катету-высоте, равен $45^\circ$.

Используя определение синуса угла в этом меньшем треугольнике:
$\sin(45^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{k}$

Так как значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{k}$

Выразим отсюда катет $k$:
$k = \frac{2a}{\sqrt{2}} = \frac{2a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Длина катета равна $a\sqrt{2}$. Сравнивая с вариантами, видим, что это ответ Б).

Ответ: Б) $a\sqrt{2}$

Условие 2015-2022.

7. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна $a$. Тогда его катет равен

А) $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Б) $a\sqrt{2}$

В) $2a$

Г) $\frac{a}{2}$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).