Номер 5, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 5, страница 137.

Условие 2023.

5. Биссектриса равностороннего треугольника со стороной a равна

А) $ \frac{a\sqrt{2}}{2} $

В) $ \frac{a\sqrt{3}}{3} $

Б) $ \frac{a\sqrt{2}}{3} $

Г) $ \frac{a\sqrt{3}}{2} $

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

В равностороннем треугольнике все стороны равны $a$, и все углы равны $60^\circ$.

Биссектриса, проведенная из любого угла равностороннего треугольника, является одновременно его высотой и медианой. Это означает, что она перпендикулярна противоположной стороне и делит ее пополам.

Таким образом, биссектриса делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна стороне равностороннего треугольника, то есть $a$. Один из катетов равен половине стороны, к которой проведена биссектриса (так как она же является медианой), то есть $\frac{a}{2}$. Второй катет — это и есть искомая биссектриса. Обозначим ее длину как $h$.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

Теперь выразим $h^2$ и найдем его значение:

$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

$h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}$

$h^2 = \frac{3a^2}{4}$

Чтобы найти длину биссектрисы $h$, извлечем квадратный корень из полученного выражения:

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, длина биссектрисы равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Этот результат соответствует варианту ответа Г.

Ответ: Г) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Условие 2015-2022.

5. Биссектриса равностороннего треугольника со стороной $a$ равна

А) $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Б) $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

В) $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Г) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).