Номер 2, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 2, страница 137.

Условие 2023.

2. На каком рисунке длина отрезка $x$ равна $2a$?

A

$a$, $2a$, $x$

B

$a$, $9a$, $x$

Б

$a$, $4a$, $x$

Г

$a$, $6a$, $x$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Согласно одному из них, высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Если высота — это $x$, а отрезки гипотенузы — $p$ и $q$, то верна формула: $x^2 = p \cdot q$.

Нам нужно найти рисунок, для которого выполняется условие $x = 2a$. Возведя обе части в квадрат, получим $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов, подставляя значения отрезков гипотенузы в формулу $x^2 = p \cdot q$.

А

Отрезки гипотенузы равны $a$ и $2a$.

Найдем квадрат высоты $x$:
$x^2 = a \cdot 2a = 2a^2$.

Следовательно, $x = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Это не равно $2a$.

Ответ: $x = a\sqrt{2}$.

B

Отрезки гипотенузы равны $a$ и $9a$.

Найдем квадрат высоты $x$:
$x^2 = a \cdot 9a = 9a^2$.

Следовательно, $x = \sqrt{9a^2} = 3a$. Это не равно $2a$.

Ответ: $x = 3a$.

Б

Отрезки гипотенузы равны $a$ и $4a$.

Найдем квадрат высоты $x$:
$x^2 = a \cdot 4a = 4a^2$.

Следовательно, $x = \sqrt{4a^2} = 2a$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: $x = 2a$.

Г

Отрезки гипотенузы равны $a$ и $6a$.

Найдем квадрат высоты $x$:
$x^2 = a \cdot 6a = 6a^2$.

Следовательно, $x = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}$. Это не равно $2a$.

Ответ: $x = a\sqrt{6}$.

Сравнив результаты, мы видим, что условие $x = 2a$ выполняется только для рисунка Б.

Условие 2015-2022.

2. На каком рисунке длина отрезка $x$ равна $2a$?

A

$a$, $x$, $2a$

B

$a$, $x$, $9a$

Б

$a$, $x$, $4a$

Г

$a$, $x$, $6a$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).