Номер 9, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 9, страница 138.

Условие 2023.

9. Пусть $\alpha$ — острый угол прямоугольного треугольника. Какое из данных равенств не может выполняться?

A) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$

B) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Г) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Рис. 205

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По определению, синус ($\sin$) острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Поскольку в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, значение синуса острого угла всегда строго меньше 1. Так как длины сторон — положительные величины, синус также всегда положителен. Таким образом, для любого острого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство:

$0 < \sin \alpha < 1$

Проверим каждое из предложенных равенств на соответствие этому условию.

А) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$

Значение $\frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{3} < 1$, так как это правильная дробь (числитель меньше знаменателя).
Ответ: Данное равенство может выполняться.

Б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Чтобы сравнить значение $\frac{\sqrt{2}}{4}$ с 1, сравним квадраты числителя и знаменателя. $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $4^2 = 16$. Поскольку $2 < 16$, то $\sqrt{2} < 4$. Следовательно, дробь меньше 1 и больше 0. Условие $0 < \frac{\sqrt{2}}{4} < 1$ выполняется.
Ответ: Данное равенство может выполняться.

В) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Чтобы сравнить значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ с 1, сравним квадраты числителя и знаменателя. $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Следовательно, дробь меньше 1 и больше 0. Условие $0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$ выполняется.
Ответ: Данное равенство может выполняться.

Г) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Чтобы сравнить значение $\frac{2}{\sqrt{3}}$ с 1, сравним квадраты числителя и знаменателя. $2^2 = 4$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Поскольку $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$. Это означает, что числитель дроби больше знаменателя, следовательно, $\frac{2}{\sqrt{3}} > 1$. Это значение не удовлетворяет условию $0 < \sin \alpha < 1$.
Ответ: Данное равенство не может выполняться.

Условие 2015-2022.

9. Пусть α – острый угол прямоугольного треугольника. Какое из данных равенств не может выполняться?

А) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$

Б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$

В) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Г) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).