Номер 1, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 1, страница 137.

Условие 2023.

1. Диаметр $AB$ окружности с центром $O$ перпендикулярен хорде $CD$ (рис. 203). Какое из данных равенств неверно?

А) $AC^2 = AM \cdot AB$

Б) $CM^2 = AM \cdot MB$

В) $AD^2 = MB \cdot AB$

Г) $DM^2 = AM \cdot MB$

Рис. 203

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника, образованного диаметром и точкой на окружности, а также метрическими соотношениями в нем.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACB$. Так как сторона $AB$ является диаметром окружности, то угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$.

По условию, диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $CD$ в точке $M$. Это означает, что $CM$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle ACB$, опущенной на гипотенузу $AB$.

Аналогично, треугольник $\triangle ADB$ также является прямоугольным ($\angle ADB = 90^\circ$), и $DM$ — его высота, опущенная на гипотенузу $AB$.

Теперь проверим каждое из предложенных равенств.

А) $AC^2 = AM \cdot AB$
В прямоугольном треугольнике $\triangle ACB$ квадрат катета ($AC$) равен произведению гипотенузы ($AB$) и проекции этого катета на гипотенузу ($AM$). Это известное метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике. Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: верно.

Б) $CM^2 = AM \cdot MB$
В прямоугольном треугольнике $\triangle ACB$ квадрат высоты ($CM$), проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу ($AM$ и $MB$). Это также известное метрическое соотношение. Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: верно.

В) $AD^2 = MB \cdot AB$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. Катет $AD$, гипотенуза $AB$. Проекцией катета $AD$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $AM$. Согласно метрическому соотношению (аналогично пункту А), должно быть $AD^2 = AM \cdot AB$. В предложенном варианте стоит $MB$, что является проекцией другого катета — $DB$. Таким образом, $DB^2 = MB \cdot AB$. Следовательно, равенство $AD^2 = MB \cdot AB$ неверно.
Ответ: неверно.

Г) $DM^2 = AM \cdot MB$
По свойству окружности, диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Значит, $CM = MD$. В пункте Б) мы установили, что равенство $CM^2 = AM \cdot MB$ верно. Заменив $CM$ на $DM$, получаем $DM^2 = AM \cdot MB$. Следовательно, данное равенство также верно.
Ответ: верно.

Вопрос задачи — найти неверное равенство. Таким является равенство В.

Условие 2015-2022.

1. Диаметр $AB$ окружности с центром $O$ перпендикулярен хорде $CD$ (рис. 191). Какое из данных равенств неверно?

А) $AC^2 = AM \cdot AB$В) $AD^2 = MB \cdot AB$

Б) $CM^2 = AM \cdot MB$Г) $DM^2 = AM \cdot MB$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).