Номер 629, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 629, страница 135.

Условие 2023.

629. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $ \beta $, высота, проведённая к боковой стороне, равна $ h $. Найдите основание треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Угол при вершине $B$ равен $\beta$, то есть $\angle ABC = \beta$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому каждый угол при основании равен:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$

Проведем высоту $AD$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, ее длина равна $h$, то есть $AD = h$. Так как $AD$ — высота, то треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ADC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ADC$ нам известны:

• катет $AD = h$;
• угол $\angle ACD = \angle BCA = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$;
• гипотенуза $AC$ — это основание исходного треугольника, которое нужно найти.

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle ACD$ имеем:

$\sin(\angle ACD) = \frac{AD}{AC}$

Подставим известные значения:

$\sin(90^\circ - \frac{\beta}{2}) = \frac{h}{AC}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(\frac{\beta}{2}) = \frac{h}{AC}$

Из этого соотношения выразим основание $AC$:

$AC = \frac{h}{\cos(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $\frac{h}{\cos(\frac{\beta}{2})}$

Условие 2015-2022.

629. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\beta$, высота, проведённая к боковой стороне, равна $h$. Найдите основание треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).