Номер 624, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Решение прямоугольных треугольников. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 624, страница 134.

Условие 2023.

624. Ширина насыпи шоссейной дороги в нижней её части равна $80 \text{ м}$ (рис. 202), высота насыпи - $5 \text{ м}$, а откосы наклонены к горизонту под углом $20^\circ$. Найдите ширину насыпи в верхней её части.

Рис. 202

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поперечное сечение насыпи представляет собой равнобедренную трапецию. Обозначим её нижнее основание (ширину в нижней части) как $a=80$ м, а верхнее основание (искомую ширину в верхней части) — как $b$. Высота трапеции $h = 5$ м, а угол наклона откосов к горизонту $\alpha = 20^\circ$.

Для нахождения верхнего основания $b$ опустим из его вершин высоты на нижнее основание. В результате трапеция будет разделена на центральный прямоугольник с шириной, равной $b$, и два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам. Пусть катет каждого такого треугольника, лежащий на нижнем основании, равен $x$.

Тогда ширина нижнего основания $a$ может быть выражена как сумма ширин этих трех фигур: $a = x + b + x = b + 2x$.

Отсюда мы можем выразить искомую ширину верхнего основания: $b = a - 2x$.

Теперь найдем значение $x$. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его катеты — это высота трапеции $h = 5$ м (противолежащий катет для угла $\alpha$) и отрезок $x$ (прилежащий катет). Угол $\alpha = 20^\circ$.

Соотношение между катетами и углом в прямоугольном треугольнике определяется через тангенс: $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{x} $.

Подставим известные значения: $ \text{tg}(20^\circ) = \frac{5}{x} $.

Из этого уравнения найдем $x$: $ x = \frac{5}{\text{tg}(20^\circ)} $.

Теперь, когда у нас есть выражение для $x$, подставим его в формулу для $b$: $ b = 80 - 2x = 80 - 2 \cdot \frac{5}{\text{tg}(20^\circ)} = 80 - \frac{10}{\text{tg}(20^\circ)} $.

Для окончательного расчета используем значение тангенса угла $20^\circ$: $\text{tg}(20^\circ) \approx 0.36397$. $ b \approx 80 - \frac{10}{0.36397} \approx 80 - 27.475 $.

Выполняя вычитание, получаем $ b \approx 52.525 $ м. Округляя результат до двух знаков после запятой, получаем $52.53$ м.

Ответ: $52.53$ м.

Условие 2015-2022.

624. Ширина насыпи шоссейной дороги в нижней её части равна 80 м (рис. 190), высота насыпи – 5 м, а откосы наклонены к горизонту под углом $20^\circ$. Найдите ширину насыпи в верхней её части.

Рис. 189

Размеры:

Верхний горизонтальный размер: 10 м

Высота: 6 м

Нижний горизонтальный размер: 4 м

Угол при нижнем основании: ?

Рис. 190

Размеры:

Нижний горизонтальный размер: 80 м

Высота: 5 м

Угол наклона откоса к горизонту: $20^\circ$

Верхний горизонтальный размер: ?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).