Номер 659, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 659, страница 144.

Условие 2023.

659. Три угла выпуклого многоугольника равны по $100^\circ$, а остальные – по $120^\circ$. Определите вид многоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $n$ – количество углов (и, соответственно, сторон) данного выпуклого многоугольника.

Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника определяется по формуле: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

По условию задачи, три угла многоугольника равны по $100^\circ$, а остальные $(n-3)$ углов равны по $120^\circ$. Значит, сумму всех его углов можно выразить как: $S_n = 3 \cdot 100^\circ + (n - 3) \cdot 120^\circ$.

Приравняем два выражения для суммы углов, чтобы найти $n$: $(n - 2) \cdot 180 = 3 \cdot 100 + (n - 3) \cdot 120$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки: $180n - 360 = 300 + 120n - 360$

Упростим правую часть: $180n - 360 = 120n - 60$

Соберем слагаемые, содержащие $n$, в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой: $180n - 120n = 360 - 60$

$60n = 300$

$n = \frac{300}{60}$

$n = 5$

Поскольку многоугольник имеет 5 сторон, его видом является пятиугольник. Все углы ($100^\circ$ и $120^\circ$) меньше $180^\circ$, что соответствует условию выпуклости многоугольника.

Ответ: пятиугольник.

Условие 2015-2022.

659. Три угла выпуклого многоугольника равны по $100^\circ$, а остальные – по $120^\circ$. Определите вид многоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).