Номер 660, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Многоугольники. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 660, страница 144.

Условие 2023.

660. Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан выпуклый шестиугольник, все внутренние углы которого равны.Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника находится по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.Для шестиугольника ($n=6$) сумма углов составляет:$S_6 = (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Поскольку по условию все шесть углов шестиугольника равны, то величина каждого угла равна:$\alpha = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Для доказательства параллельности противоположных сторон воспользуемся методом векторов. Пусть стороны шестиугольника $ABCDEF$ представлены векторами, направленными последовательно при обходе контура против часовой стрелки: $\vec{v_1} = \vec{AB}$, $\vec{v_2} = \vec{BC}$, $\vec{v_3} = \vec{CD}$, $\vec{v_4} = \vec{DE}$, $\vec{v_5} = \vec{EF}$ и $\vec{v_6} = \vec{FA}$.

Угол поворота от одного вектора стороны к следующему определяется внешним углом многоугольника. Внешний угол при каждой вершине равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Это означает, что направление каждого следующего вектора стороны получается поворотом предыдущего на $60^\circ$ против часовой стрелки.

Зададим направление вектора $\vec{v_1} = \vec{AB}$ как базовое. Тогда направления остальных векторов сторон будут повернуты относительно $\vec{v_1}$ на следующие углы:

• $\vec{v_2} = \vec{BC}$: поворот на $60^\circ$
• $\vec{v_3} = \vec{CD}$: поворот на $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$
• $\vec{v_4} = \vec{DE}$: поворот на $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$
• $\vec{v_5} = \vec{EF}$: поворот на $180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$
• $\vec{v_6} = \vec{FA}$: поворот на $240^\circ + 60^\circ = 300^\circ$

Два отрезка параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть угол между их направлениями равен $0^\circ$ или $180^\circ$. Проверим это для трех пар противоположных сторон шестиугольника $ABCDEF$.

1. Пара сторон $AB$ и $DE$. Этим сторонам соответствуют векторы $\vec{v_1}$ и $\vec{v_4}$. Угол поворота направления вектора $\vec{v_4}$ относительно направления $\vec{v_1}$ равен $180^\circ$. Это означает, что векторы антипараллельны. Следовательно, стороны $AB$ и $DE$ параллельны ($AB \parallel DE$).

2. Пара сторон $BC$ и $EF$. Этим сторонам соответствуют векторы $\vec{v_2}$ и $\vec{v_5}$. Угол между их направлениями равен разности их углов поворота относительно $\vec{v_1}$: $240^\circ - 60^\circ = 180^\circ$. Векторы антипараллельны, следовательно, $BC \parallel EF$.

3. Пара сторон $CD$ и $FA$. Этим сторонам соответствуют векторы $\vec{v_3}$ и $\vec{v_6}$. Угол между их направлениями равен $300^\circ - 120^\circ = 180^\circ$. Векторы антипараллельны, следовательно, $CD \parallel FA$.

Таким образом, доказано, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.

Ответ: Утверждение доказано. Противоположные стороны шестиугольника с равными углами попарно параллельны.

Условие 2015-2022.

660. Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).